无穷级数

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级数的定义

无穷多个数的和称为 无穷级数 (Infinite Series)，简称 级数。 给定数列 $a_n,n=1,2,\cdots ,\mathrm{\infty }$$a_n, n = 1, 2, \cdots, \infty$，其前 $n$$n$ 项和 $S_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i}$$S_n= \displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_i$ 称为该级数的 部分和 (Partial sum)。 如果 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=S}$$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} S_n = S$ 存在（即极限为一个有限常数），则称级数 收敛 (Convergent)，并称 $S$$S$ 为级数的和；否则称级数 发散 (Divergent)。

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收敛级数的基本性质

性质1：若 $\sum u_n=s$$\sum u_n = s$，则 $\sum k{u}_n=ks$$\sum k u_n = k s$（$k$$k$ 为常数）。 性质2：若 $\sum u_n=s$$\sum u_n = s$, $\sum v_n=\sigma$$\sum v_n = \sigma$，则 $\sum (u_n\pm v_n)=s\pm \sigma$$\sum(u_n \pm v_n) = s \pm \sigma$。 性质3：在级数中去掉、增加或改变有限项，不会改变级数的收敛性。 性质4 (必要条件)：如果级数 $\sum u_n$$\sum u_n$ 收敛，那么必然有 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0}$$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} u_n = 0$。

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定理1：单调有界原理

正项级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛的充分必要条件是：其部分和数列 $S_n$$S_n$ 有界。 (注: 本质上这个定理就是上册学过的“单调有界必有极限”)

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定理2：比较审敛法

设 $\sum u_n$$\sum u_n$ 和 $\sum v_n$$\sum v_n$ 都是正项级数，且对所有 $n$$n$ 有 $u_n⩽v_n$$u_n \leqslant v_n$：

• 如果“大级数” $\sum v_n$$\sum v_n$ 收敛 $\Rightarrow$$\Rightarrow$ “小级数” $\sum u_n$$\sum u_n$ 必收敛。

• 如果“小级数” $\sum u_n$$\sum u_n$ 发散 $\Rightarrow$$\Rightarrow$ “大级数” $\sum v_n$$\sum v_n$ 必发散。

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定理3：极限比较审敛法

设 $\sum u_n$$\sum u_n$ 与 $\sum v_n$$\sum v_n$ 为正项级数，若 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_n}{v_n}=l(0<l<\mathrm{\infty })}$$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{u_n}{v_n} = l \ (0 < l < \infty)$，则这两个级数 同收敛或同发散。

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定理4：比值审敛法 (达朗贝尔判别法)——非常重要！

设 $\sum u_n$$\sum u_n$ 为正项级数，若 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho }$$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$，则：

• 当 $\rho <1$$\rho < 1$ 时，级数 收敛；

• 当 $\rho >1$$\rho > 1$ 或 $\rho =\mathrm{\infty }$$\rho = \infty$ 时，级数 发散；

• 当 $\rho =1$$\rho = 1$ 时，方法失效（不确定，需用其他方法）。

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定理5：莱布尼茨定理 (交错级数审敛法)

对于交错级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{u}_n(u_n>0)}$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_n \ (u_n > 0)$，若满足：

1. $u_n⩾u_{n+1}$$u_n \geqslant u_{n+1}$ （各项的绝对值单调递减）

2. ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0}$$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} u_n = 0$ 则该交错级数 收敛。

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绝对收敛与条件收敛

对于包含正负项的任意级数 $\sum u_n$$\sum u_n$：

• 绝对收敛：如果加上绝对值后的正项级数 $\sum |u_n|$$\sum |u_n|$ 收敛，则原级数必然收敛，且称为绝对收敛。

• 条件收敛：如果原级数 $\sum u_n$$\sum u_n$ 收敛，但加了绝对值后的级数 $\sum |u_n|$$\sum |u_n|$ 发散，则称原级数为条件收敛（如交错调和级数）。

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幂级数的形式 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n+\cdots$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots$ 其中，常数 $a_0,a_1,\cdots$$a_0, a_1, \cdots$ 称为幂级数的系数。

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定理6：阿贝尔(Abel)定理

如果幂级数 $\sum a_n{x}^n$$\sum a_n x^n$ 在 $x=x_0(x_0\ne 0)$$x=x_0 \ (x_0 \neq 0)$ 处收敛，那么对于所有满足 $|x|<|x_0|$$|x| < |x_0|$ 的 $x$$x$，幂级数必绝对收敛。 反之，如果在 $x=x_1$$x=x_1$ 处发散，则对于所有满足 $|x|>|x_1|$$|x| > |x_1|$ 的 $x$$x$，幂级数必发散。

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常见函数的麦克劳林(幂级数)展开

这些公式在数值计算和计算机算法中极其基础：

1. 指数函数：${\displaystyle e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots (x\in \mathbb{R})}$$\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots \quad (x \in \mathbb{R})$

2. 正弦函数：${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}(x\in \mathbb{R})}$$\displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad (x \in \mathbb{R})$

3. 余弦函数：${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}(x\in \mathbb{R})}$$\displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \quad (x \in \mathbb{R})$

4. 几何级数：${\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n(-1<x<1)}$$\displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n \quad (-1 < x < 1)$

5. 对数函数：${\displaystyle \ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}(-1<x\le 1)}$$\displaystyle \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} \quad (-1 < x \leq 1)$

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傅里叶级数 (Fourier Series)

设 $f(x)$$f(x)$ 是以 $2\pi$$2\pi$ 为周期的周期函数，它可以被展开为如下的 三角级数： $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos \left(nx\right)+b_n\sin \left(nx\right))$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)$ 其中，常数项和三角函数的系数（称为傅里叶系数）通过积分计算得出：

• $a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$ （代表信号的直流/平均分量）

• $a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos \left(nx\right)dx$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx$

• $b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin \left(nx\right)dx$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx$

注：上述公式的基础在于三角函数族 $\{1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\cdots \}$$\{1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \cdots \}$ 在区间 $[-\pi ,\pi ]$$[-\pi, \pi]$ 上构成了正交基（即任意两个不同基函数的乘积积分为0）。

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欧拉公式 (Euler's Formula)

被誉为数学中最美的公式，它将复数、指数与三角函数完美统一： $e^{ix}=\cos x+i\sin x$$e^{ix} = \cos x + i \sin x$

推论：当 $x=\pi$$x=\pi$ 时，得到 $e^{i\pi }+1=0$$e^{i\pi} + 1 = 0$，这个等式将数学中最重要的五个常数 $0,1,i,\pi ,e$$0, 1, i, \pi, e$ 融为一体。

利用欧拉公式，我们可以反向表示正弦和余弦： $\cos \left(nx\right)=\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2},\sin \left(nx\right)=\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}$$\cos(nx) = \frac{e^{inx} + e^{-inx}}{2}, \quad \sin(nx) = \frac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i}$

将这两个式子代入传统的傅里叶级数中，经过简单的代数合并整理，原本分为三项（常数项、$a_n$$a_n$项、$b_n$$b_n$项）的冗长公式，可以被压缩成一个极其优雅的复数形式！

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傅里叶级数的复数形式

$f(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{inx}$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}$ 此时，统一的傅里叶系数 $c_n$$c_n$ 为： $c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}dx$$c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx$

在这里，$n$$n$ 包含了负整数、0 和正整数，它代表了信号中离散的频率成分。$c_n$$c_n$ 是一个复数，它的模代表了该频率成分的振幅（能量大小），它的幅角代表了该频率成分的相位。