偏微分方程

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热传导方程 (The Heat Equation)

偏微分方程的建立往往源于物理规律。MIT 的微积分课程中给出了一个经典的例子：热传导方程。 假设我们要研究一个房间内的温度分布。设 $u(x,y,z,t)$$u(x, y, z, t)$ 表示空间点 $(x,y,z)$$(x, y, z)$ 在时间 $t$$t$ 的温度。物理学告诉我们，热量总是从高温区流向低温区。根据傅里叶热传导定律和能量守恒，温度随时间的变化率，与该点在空间上的“二阶偏导数之和”成正比： $\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha (\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2})$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right)$ 其中常数 $\alpha >0$$\alpha > 0$ 称为热导率（Heat conductivity），它决定了热量在这个介质中传播有多快。等式右边的算子在数学上非常重要，我们用一个专用的符号——拉普拉斯算子 (Laplacian) $\mathrm{\Delta }$$\Delta$ 来表示它： $\mathrm{\Delta }u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}$$\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$ 所以热传导方程可以简写为：${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \mathrm{\Delta }u}$$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \Delta u$。

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推导目标

在二维情形中，我们从直角坐标变换到极坐标：

设 $u=u(x,y)$$u = u(x,y)$，在极坐标下仍记作 $u=u(r,\theta )$$u = u(r,\theta)$。我们的目标是把

改写为

注意：以下推导默认 $r>0$$r>0$，即先不讨论原点处的奇异性。

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方法一：极坐标下的分离变量法

假设我们要在一个圆形区域（如圆盘）内求解二维拉普拉斯方程 $\mathrm{\Delta }u=0$$\Delta u = 0$。在直角坐标系下边界条件很难处理，因此我们先利用链式法则将其转换为极坐标 $(r,\theta )$$(r, \theta)$ 形式： $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\theta }^2}=0$$\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = 0$

分离变量 (Separation of Variables)： 我们大胆地猜测，解 $u(r,\theta )$$u(r, \theta)$ 可以拆分为一个只与 $r$$r$ 有关的函数和一个只与 $\theta$$\theta$ 有关的函数的乘积： $u(r,\theta )=R(r)\mathrm{\Theta }(\theta )$$u(r, \theta) = R(r)\Theta(\theta)$ 代入方程并分离变量，可以将原偏微分方程撕裂成两个普通的常微分方程（ODE）： $\frac{r^2{R}^{″}(r)+r{R}^{\prime }(r)}{R(r)}=-\frac{{\mathrm{\Theta }}^{″}(\theta )}{\mathrm{\Theta }(\theta )}=\lambda$$\frac{r^2 R''(r) + r R'(r)}{R(r)} = -\frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)} = \lambda$ 因为等式左边只依赖 $r$$r$，右边只依赖 $\theta$$\theta$，它们必须等于同一个常数 $\lambda$$\lambda$。 解关于 $\mathrm{\Theta }$$\Theta$ 的方程 ${\mathrm{\Theta }}^{″}+\lambda \mathrm{\Theta }=0$$\Theta'' + \lambda \Theta = 0$，考虑到圆盘的角度必须是 $2\pi$$2\pi$ 周期的，我们自然而然地得到了第十三章学过的正弦和余弦函数！最终的解 $u(r,\theta )$$u(r, \theta)$ 恰好就是无穷多个分离解的叠加，即构成了傅里叶级数。

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方法二：傅里叶变换法 (针对无界区域)

当求解区域是无限大（如整个上半平面）时，我们可以对偏微分方程两边直接取傅里叶变换。

回顾第十三章傅里叶变换的神奇性质：它能将时域/空域的求导运算，直接转化为频域的代数乘法！ 对于方程 ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0}$$\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$，如果我们对变量 $x$$x$ 进行傅里叶变换 $\mathcal{F}$$\mathcal{F}$，则 ${\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}}$$\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial x^2}$ 在频域中变成了乘以 $(i\omega {)}^2=-{\omega }^2$$(i\omega)^2 = -\omega^2$。 原本包含两个变量偏导数的 PDE，瞬间变成了一个只含有 $y$$y$ 导数的常微分方程 (ODE)： $-{\omega }^{2}U(\omega ,y)+\frac{d^{2}U(\omega ,y)}{d{y}^2}=0$$-\omega^2 U(\omega, y) + \frac{d^2 U(\omega, y)}{dy^2} = 0$ 这个 ODE 非常容易解出 $U(\omega ,y)=A(\omega )e^{-\omega y}+B(\omega )e^{\omega y}$$U(\omega, y) = A(\omega)e^{-\omega y} + B(\omega)e^{\omega y}$。最后再做一次逆傅里叶变换，就能得到原方程的解析解。这是现代偏微分方程理论中最核心的降维武器！