第1章极限1.1 集合与映射1.1.1 集合1.1.2 映射1.1.3 函数1.2 极限1.2.1 数列极限1.2.2 函数极限1.2.3 极限的运算1.2.4 两个重要的极限1.2.5 复合函数的极限1.3 连续函数1.3.1 连续和间断1.3.2 闭区间上连续函数的性质

第1章极限

Tip

微积分是大学数学的核心内容, 是人工智能的基础之一, 学好它对我们以后的学习和成长有非常大的好处.

微积分的研究对象是函数. 我们中学已经学过函数的概念, 下面我们来复习和巩固一下.

1.1 集合与映射

1.1.1 集合

Tip

集合是数学研究从具体到抽象的第一步. 当我们用数学语言来描述世界时, 首先要把我们感兴趣的对象给拿出来, 进行适当的抽象, 然后再研究它们的规律. 集合就是数学中用来界定对象的一个概念.

Note

集合举例

自然数集 $\mathbb{N} = \left\{0, 1, 2, 3, \cdots \right\}$
实数集 $\mathbb{R} = \left\{x: -\infty < x < \infty \right\}$
满足不等式 x-3<10 的所有实数 x $A=\left \{x < 7\right \}$

Important

集合的概念

我们把所要研究的对象统称为元素集合 $A, B, C$ $x$ $a, b, c$ 来表示集合中的元素.

$x$ $A$ $x$ 属于 $A$ $x\in A$ ;
$x$ $A$ $x$ 不属于 $A$ $a \notin A$ .
空集 $\phi$ .

Caution

上机实验

计算机图像处理中经常会用到掩码 (mask) 的概念. 掩码本质上就是一个集合.

set_mask.ipynb: 图像掩码操作.

Important

两个集合间的包含关系

$A$ 中任意_Rd $B$ $A$ 包含于 $B$ $B$ 包含 $A$ $A\subseteq B$ $B\supseteq A$ $A$ $B$ 的子集 (subset). 空集是任何集合的子集

集合相等 $A\subseteq B$ $B\subseteq A$ $A$ $B$ $A$ $B$ $A=B$ .

Important

集合之间的运算

交集

$A$ $B$ $A$ $B$ 交集 $A\cap B$ $A$ $B$ ”), 即

A \cap B = {x : x \in A and x \in B}

下图展示了交集运算:

并集

$A$ $B$ $A$ $B$ 并集 $A\cup B$ $A$ $B$ ”), 即

A \cup B = {x : x \in A or x \in B}

下图展示了并集运算:

补集

$A$ $B$ $B$ $A$ $A$ $B$ 补集 $C_BA$ $A^C$ , 即

\bar{A} = C_{B} A = {x \in B : x \notin A}

下图展示了补集运算:

Caution

上机实验

set_iou.ipynb: 交并比介绍.

1.1.2 映射

Tip

集合的概念是为了给映射做铺垫, 映射建立了集合与集合之间的关联.

Important

映射的定义

$A$ $B$ $f$ $A$ $B$ $f$ $A$ $B$ 的映射, 记作

f : A \to B

$f$ $A$ $a$ $B$ $b$ , 可记作

f (a) = b

$b$ $a$ 象 $a$ $b$ 的原象.

映射可以通过下面的图像来理解:

$A$ $B$ 中元素的对映关系.

根据定义, 映射需要满足两个要求: 随处取值, 唯一对映.

随处取值 $A$ $B$ 中都有对映；
唯一对映 $f$ $A$ $B$ $A$ $B$ 中的多个元素.

Warning

映射的性质

单射 $A$ $B$ $f$ 为单射.
满射 $B$ $f$ 为满射.
一一映射 $A$ $B$ $f$ $f$ 既是单射又是满射.

逆映射

$f: A \rightarrow B$ $B$ $A$ $f^{-1}: B\rightarrow A$ .

Note

映射的例子

映射的例子在我们的生活中随处可见, 例如：

名字 $A$ $B$ 是所有的名字. 每个人都有一个名字, 我们允许重名, 但不允许一个人有2个名字.
地图：没错, map 本身就是一个 map！(我们希望)这是一个从地图到真实世界的一一映射.
颜色：为什么我们能看到不同的颜色？颜色是一个从光波长到我们主观感受的映射.

$A$ 输入信号 $x$ $f(x)$ 的一个机器.

Function

1.1.3 函数

Tip

映射与函数

数集 $A$ 数集 $B$ 映射 $f:A \rightarrow B$ 函数 $y = f(x)$ $x$ 自变量 $y$ $x$ 对映的函数值.

Important

数列

数列 $\mathbb{N}$ $\mathbb{R}$ $a(n)$ $n$ $a_n$ $n$ $\{ a_n \}$ 表示整个数列.

等差数列

$a_{1}$ $d$ 的等差数列的通项公式为

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

等差数列的 $n$ 项和为

S_{n} = n a_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d

等比数列

$a_{1}$ $q$ 的等比数列的通项公式为

a_{n} = a_{1} q^{n - 1}

等比数列的 $n$ 项和为

S_{n} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q} （ q \neq 1)

Important

初等函数

$y=x^{\alpha}$
$y=a^x$ $y=\mathrm{e}^x$ $numpy.exp(x)$
$y=\mathrm{log}_a^{x}$ $y=\mathrm{ln}^{x}$ $numpy.log(x)$
$y=\sin(x)$ $y=\cos(x)$ $y=\tan(x)$
$y = \mathrm{arcsin}(x)$

其它常用函数

$y=|x|$
符号函数

\begin{matrix} y = sgn (x) = {\begin{matrix} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ - 1, & x < 0 \end{matrix} \end{matrix}

Sigmoid函数

σ (x) = \frac{1}{1 + e^{- x}}

Important

反函数

反函数逆映射 $f: x \rightarrow y$ $f$ $f^{-1}: y \rightarrow x$ . 例如

$y = 3x + 1$ $\displaystyle y = \frac{x - 1}{3}$
$y = \mathrm{e}^x$ $y = \mathrm{ln}x$ .

$x$ $y$ $y = x$ 对称的.

反函数图形的对称性

Important

复合函数

$f$ $g$ 新的函数 $y = f[g(x)]$ $x$ $g$ $u = g(x)$ $u$ 中间变量 $f$ $y = y = f[g(x)]$ . 这个过程可以表示为:

x \overset{g}{⟶} u \overset{f}{⟶} y .

$y = f[g(x)]$ $f$ $g$ 复合函数 $f \circ g$ $f\circ g \ne g\circ f$ .

Note

$f(x) = x + 2$ $g(x) = x^2$ , 则

\begin{aligned} (1) & f \circ g & = g (x) + 2 = x^{2} + 2, \\ (2) & g \circ f & = [f (x)]^{2} = (x + 2)^{2} . \end{aligned}

Caution

计算机编程中的函数(function) 概念比数学中的函数要广, 它表示从输入 (可以是数、数组、函数等）到输出 (也可以是数、数组、函数等）的一系列操作.

深度学习与复合函数

神经网络

人工智能中的核心技术为深度学习, 深度学习的背后其实就是有很多层 (从几十到几千层都有) 的神经网络 (Neuron Network). 神经网络的本质正是复合函数. 对于图中所示的神经网络, 从最左端的输入信号开始, 之后每一层都是上一层信号的复合, 因此神经网络就是一个复合了很多次的函数, 这个函数把输入 (比如一张图片) 映射到我们关心的结果 (比如图像是猫还是狗的概率).

上机实验

set_mnist.ipynb: 手写数字识别演示.

1.2 极限

Tip

曲线 $2\pi r$ $\pi r^2$ , 但是为什么是这样, 只有运用微积分才能给出严格的证明.

极限的概念很直观, 但经过数学的严格化后会变得非常抽象. 可以说极限的公理化是一道门槛, 是我们从中学的初等数学迈向大学的高等数学的必经之路. 要学好极限并不容易, 这里面涉及从有限到无穷的观念转变. 我们会发现这条路一开始会辗转反复, 让人晕头转向, 但是当你学完这门课程再回头来看, 会发现这么做是值得的, 数学概念的严格化其实不是在追求外表的精美, 而是让我们的内心变得更加的强大, 使我们有力量走得更远. 那么, 我们深呼吸一下, 一起敲开通向高等数学的大门吧.

1.2.1 数列极限

Tip

极限与圆的面积

系列 $A_n, n = 1, 2, \cdots$ . 通过直觉我们能感受到, $n$ $A_n$ 的面积会无限接近圆的面积_Rd. 接下来我们要做的就是把这个直觉通过数学语言给严格化.

Caution

上机实验

limit_array_circle.ipynb: 圆面积的极限.

Important

极限是一个动中取静_Rd的过程.

$\{ A_n \}$ $n$ 在动.
$A_n$ 的取值会慢慢趋于稳定, 到最后几乎不变了, 数学上我们称这种行为叫收敛.

Note

极限存在的例子

一尺之捶, 日取其半 (版本1)

$n$ $a_n$ 代表杠剩下的长度.

\begin{aligned} a_{0} & = 1, \\ a_{1} & = \frac{1}{2}, \\ a_{2} & = \frac{1}{4}, \\ \dots \\ a_{n} & = \frac{1}{2^{n}}, \\ \dots \end{aligned}

$n$ 动 $a_n$ 静 $n$ $a_n$ 的极限是0.

一尺之捶, 日取其半 (版本2)

$n$ $b_n$ $n$ 天为止所取的棒子的总数.

\begin{aligned} b_{0} & = 0, \\ b_{1} & = \frac{1}{2}, \\ b_{2} & = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}, \\ \dots \\ b_{n} & = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{n}} = 1 - \frac{1}{2^{n}}, \\ \dots \end{aligned}

$n$ 动 $b_n$ 静 $n$ $b_n$ 的极限是1.

P21 例1

a_{n} = \frac{n + (- 1)^{n - 1}}{n}

$n$ 动 $a_n$ 静 $n$ $a_n$ 的极限是1.

P22 例2

\begin{matrix} a_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{(n + 1)^{2}}, \end{matrix}

$n$ 动 $a_n$ 静 $n$ $a_n$ 的极限是0.

Note

极限不存在的例子

例3

$\{ 1, -1, 1, -1, \cdots\}$ 不收敛, 因为直觉告诉我们这个数列静不下来.

例4

$\{ 1, 2, 3, 4, \cdots\}$ 不收敛, 这个数列不断增长, 直觉告诉我们这个数列也静不下来.

Important

数列极限的定义 (非常重要!!!)

$\{a_n\}$ $A$ 为一常数, 如果 $\varepsilon$ $N$ $n>N$ 时有

| a_{n} - A | < ε,

$A$ $\{a_n\}$ 的极限, 记作

lim_{n \to \infty} a_{n} = A .

定义背后的数学直觉_Rd $\{a_n\}$ $n$ $a_n$ $A$ . 上述定义把数列极限的直觉具象化了, 从而使得直觉变得可操作了. 根据定义, 我们现在可以严格的判断前面例子中数列的极限.

Note

一尺之捶, 日取其半 (版本1)

直觉 $\displaystyle a_n = \frac{1}{2^n}$ 的极限为0.

证明 $\varepsilon > 0$ $N$ 使得

| \frac{1}{2^{N}} - 0 | = \frac{1}{2^{N}} < ε

$\displaystyle N = \left[ \frac{-\mathrm{ln} \varepsilon}{\mathrm{ln} 2} \right] + 1$ $n > N$ $|a_n - 0| < \varepsilon$ $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$ .

一尺之捶, 日取其半 (版本2)

直觉 $\displaystyle b_n = 1 - \frac{1}{2^n}$ 的极限为1.

证明 $\varepsilon > 0$ $N$ 使得

| 1 - \frac{1}{2^{N}} - 1 | = \frac{1}{2^{N}} < ε

$\displaystyle N = \left[ \frac{-\mathrm{ln} \varepsilon}{\mathrm{ln} 2} \right] + 1$ $n > N$ $|b_n - 1| < \varepsilon$ $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = 1$ .

Note

P21 例1

$\displaystyle a_n = \frac{n + (-1)^{n-1}}{n}$ 的极限为1.

证明 $\varepsilon > 0$ $N$ 使得

| \frac{n + (- 1)^{n - 1}}{n} - 1 | = \frac{1}{n} < ε

$\displaystyle N = \left[ \frac{1}{\varepsilon} \right] + 1$ $n > N$ $|a_n - 1| < \varepsilon$ $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 1$ .

Note

P22 例2

$\displaystyle a_n = \frac{(-1)^n}{(n+1)^2}$ 的极限为0.

证明 $\varepsilon > 0$ $N$ 使得

| \frac{(- 1)^{n}}{(n + 1)^{2}} - 0 | = \frac{1}{(n + 1)^{2}} < ε

$\displaystyle N = \left[ \sqrt{\frac{1}{\varepsilon}} \right]$ $n > N$ $|a_n - 0| < \varepsilon$ $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$ .

Warning

数列极限的几条性质 (了解, 不需要证明)

$a_n$ 有极限, 那么它的极限唯一.
$a_n$ $a_n$ 一定有界.
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n = A$ $A > 0$ $N$ $n > N$ $x_n > 0$ .
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n = A$ $a_n$ $A$ .
任意改变数列的有限多项, 不影响极限的收敛.

1.2.2 函数极限

Tip

动中取静 $n$ $x$ . 之前我们强调过函数图像直觉 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2} f(x) = 4$ , 请大家想想在这个极限过程中什么在动, 什么是静?

函数极限

Caution

上机实验

两个函数极限的例子:

limit_fun_sin_over_x.ipynb
limit_fun_sin_1_x.ipynb

Important

函数极限的定义 (非常重要!!!)

$\{f(x)\}$ $x_0$ $x$ $A$ 为一常数. 如果 $\varepsilon$ $\delta$ $0 < |x-x_0| < \delta$ 时有

| f (x) - A | < ε,

$A$ $\{f(x)\}$ $x_0$ 的极限, 记作

lim_{x \to x_{0}} f (x) = A .

上述定义可以通过下图来理解

函数极限

$\{f(x)\}$ $x\rightarrow x_0$ $x$ $x_0$ $f(x)$ $A$ . 注意跟数列极限进行对比. 跟数列极限的定义一样, 上面关于函数极限的定义提供了一个可操作的流程, 能够将我们关于函数极限的直观具象化.

Note

$f(x) = 5x + 1$ $x_0 = 2$ $11$ .

证明: 由于

\begin{aligned} | f (x) - 11 | & = | (5 x + 1) - 11 | \\ = 5 | x - 2 | < ε \end{aligned}

$5|x - 2| < \varepsilon$ $\displaystyle |x - 2| < \frac{\varepsilon}{5}$ .

$\displaystyle \delta = \frac{\varepsilon}{5}$ $0 < |x - 2| < \delta$ $\displaystyle |f(x) - 11| < \varepsilon$ $\lim_{x \rightarrow 2} f(x) = 11.$

Note

$\displaystyle \lim\limits_{x \to 1}(2x - 1) = 1$ .

证: 由于

| f (x) - A | = | (2 x - 1) - 1 | = 2 | x - 1 |

$\displaystyle |f(x) - A| < \varepsilon$ , 只要

| x - 1 | < \frac{ε}{2}

$\forall \varepsilon > 0$ $\displaystyle \delta = \frac{\varepsilon}{2}$ $x$ 适合不等式

0 < | x - 1 | < δ

$f(x)$ 就满足不等式

| f (x) - 1 | = | (2 x - 1) - 1 | < ε

从而

lim_{x \to 1} (2 x - 1) = 1

Note

$\displaystyle f(x) = x^2 + 1$ $x_0=2$ 的极限为5.

证明 $\varepsilon > 0$ $\delta$ $0 < |x-2|< \delta$ , 总有

\begin{aligned} | f (x) - 5 | & = | x^{2} + 1 - 5 | & = | x^{2} - 4 | & = | x - 2 | | x + 2 | . \end{aligned}

$\left|x+2\right|$ $\delta_0 = 1$ $|x-2|<\delta_0$ $1<x<3$ , 因此

| x + 2 | < 5.

$|x-2|<1$ 的情况下有

| f (x) - 5 | = | x - 2 | | x + 2 | < 5 | x - 2 | .

$\varepsilon>0$ , 令

δ = min {1, \frac{ε}{5}} .

$0<|x-2|<\delta$ $|x-2|<1$ $|x+2|<5$ $|x-2|<\varepsilon/5$ . 因此

| f (x) - 5 | < 5 | x - 2 | < 5 \cdot \frac{ε}{5} = ε .

$\varepsilon>0$ $\delta>0$ $0<|x-2|<\delta$ $|f(x)-5|<\varepsilon$ $\displaystyle \lim_{x\to2} (x^2+1)=5.$

Warning

函数极限的性质

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在, 则极限唯一.
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = A$ $f(x)$ $x_0$ $M >0$ $\delta > 0$ $0< |x-x_0|<\delta$ $|f(x)| < M$ .
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = A > 0$ $f(x)$ $x_0$ $\delta > 0$ $0< |x-x_0|<\delta$ $f(x) > 0$ .

Warning

$\varepsilon-\delta$ 语言

本章的主要内容是数列极限和函数极限定义 $\varepsilon-N$ $\varepsilon-\delta$ 语言 (函数). 这样的定义看似繁缛, 但只有这样才能把极限的本质说清楚. 初学者不要怕麻烦, 做题时应该一字一句的把极限的定义写清楚. 怕麻烦不想写字的同学, 在熟练掌握了极限的定义之后, 可以使用两个约定的缩写符号:

$\forall$ : 对于任意_Rd
$\exist$ : 存在_Rd

使用这两个符号, 数列极限和函数极限的定义可以写成下面的形式 (仅仅是少几个字而已).

数列极限的定义

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n = A \iff \forall \varepsilon > 0$ $\exist N$ $\ |a_n - A| < \varepsilon$ $n > N$ .

函数极限的定义

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = A \iff \forall \varepsilon > 0$ $\exist \delta$ $|f(x) - A| < \varepsilon$ $0 < |x-x_0| < \delta$ .

Warning

对无穷大的描述

趋于无穷大 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \infty$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = \infty$ , 请注意, 这只是一种习惯上的说法, 并不是_Rd $\varepsilon-N$ 语言的做法来从数学上定义什么叫趋于无穷大, 例如:

数列趋于无穷大

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \infty \iff \forall M > 0$ $\exist N$ $|a_n| > M$ $n > N$ .

函数趋于无穷大

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = \infty \iff \forall M > 0$ $\exist \delta$ $|f(x)| > M$ $0 < |x-x_0| < \delta$ .

1.2.3 极限的运算

Tip

这一讲我们主要关心如何计算极限.

$\varepsilon-\delta$ 语言来计算极限太繁琐, 也没有必要. 很多时候极限的四则运算能够帮上大忙.
有一些困难的极限问题, 我们需要跟强大的数学结论和工具, 本讲介绍的三明治定理和单调有界数列有极限请收好.

极限定义 $\varepsilon-\delta$ 语言.

Caution

希尔伯特的旅店

极限运算涉及到了无限_Rd的概念, 对初学者来说这是一个之前从未踏足过的位置领域, 一些有限世界中的直觉将不再成立. 希尔伯特的旅店是一个有趣的故事, 通过这个故事希望能让大家对无限_Rd有一颗敬畏之心.

Important

数列极限四则运算

加减法 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_n = A$ $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}b_n = B$ $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}[a_n \pm b_n]= A \pm B$ .
乘法 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_n = A$ $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}b_n = B$ $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_nb_n = AB$ .
除法 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_n= A$ $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}b_n = B$ $B \ne 0$ $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}= \frac{A}{B}$ .

证明见教学视频或问DeepSeek.

Important

函数极限四则运算

加减法 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = A$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}g(x) = B$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}[f(x) \pm g(x)]= A \pm B$ .
乘法 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = A$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}g(x) = B$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)g(x)= AB$ .
除法 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = A$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}g(x) = B$ $B \ne 0$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A}{B}$ .

证明见教学视频或问DeepSeek.

Note

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0$

证明 $\varepsilon > 0$ $N$ $n > N$ 时:

| \frac{1}{n} - 0 | = \frac{1}{n} < ε

$\displaystyle \frac{1}{n} < \varepsilon$ $\displaystyle n > \frac{1}{\varepsilon}$

$\displaystyle N = \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor + 1$ $\displaystyle \frac{1}{\varepsilon}$ 的最小整数）

$n > N$ $\displaystyle \frac{1}{n} < \varepsilon$

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0$ .

Note

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2n}$

解法1（直接法）：

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0$ 可得：

lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2} \cdot lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

$\varepsilon-N$ 定义证明）：

$\varepsilon > 0$ $N$ $n > N$ 时：

| \frac{1}{2 n} - 0 | = \frac{1}{2 n} < ε

$\displaystyle n > \frac{1}{2\varepsilon}$ $\displaystyle N = \left\lfloor \frac{1}{2\varepsilon} \right\rfloor + 1$ $n > N$ $\displaystyle \frac{1}{2n} < \varepsilon$ $0$ .

Note

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2}$

解 $\varepsilon > 0$ $N$ $n > N$ 时：

| \frac{1}{n^{2}} - 0 | = \frac{1}{n^{2}} < ε

$\displaystyle n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$ $\displaystyle N = \left\lfloor \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} \right\rfloor + 1$ $n > N$ $\displaystyle \frac{1}{n^2} < \varepsilon$ $0$ .

Note

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}(2x-1)$

解法1（直接代入法）：

$f(x) = 2x - 1$ $x=1$ 处连续, 可直接代入：

lim_{x \to 1} (2 x - 1) = 2 (1) - 1 = 1

$\varepsilon-\delta$ 定义证明）：

$\varepsilon > 0$ $\delta > 0$ $0 < |x-1| < \delta$ 时：

| (2 x - 1) - 1 | = 2 | x - 1 | < ε

$\displaystyle \delta = \frac{\varepsilon}{2}$ $0 < |x-1| < \delta$ 时：

2 | x - 1 | < 2 \cdot \frac{ε}{2} = ε

$1$ .

Note

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-1}{x^2-5x+3}$

解法 $x=2$ $2^3 - 1 = 7$ $x=2$ $2^2 - 5(2) + 3 = -3$ , 分母不为零, 可直接代入：

lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 5 x + 3} = \frac{7}{- 3} = - \frac{7}{3}

Note

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x-3}{x^2-9}$

解法 $\frac{0}{0}$ , 需进一步处理, 因式分解分母：

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

约去公因式：

\frac{x - 3}{x^{2} - 9} = \frac{1}{x + 3} (x \neq 3)

计算简化后的极限：

lim_{x \to 3} \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{6}

1.2.4 两个重要的极限

Tip

重要极限一

$n$ $n \rightarrow \infty$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}$ $\pi$ (阿基米德数_Rd)有着深刻的联系.

Important

三明治定理

定理陈述
$f(x), g(x), h(x)$ $x_0$ 的某去心邻域内满足：

$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$
$\displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x) = \lim_{x\to x_0} h(x) = L$ $\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L$ .

数列版本
$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$ 满足：

$b_n \leq a_n \leq c_n$ $n$ ）
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} c_n = L$ $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = L$ .

Important

重要极限1

lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

证明 $x>0$ $x$ 看作是单位圆上的一小段弧度, 注意到

$\sin x$ 为对边长度
$x$ 为圆弧长度（弧度制）
$\tan x$ 为切线长度

通过几何上观察可知

\sin x < x < \tan x

$\sin x$ 并取倒数得

\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1, x > 0

$x < 0$ 的情况, 利用奇函数性质：

\frac{\sin (- x)}{- x} = \frac{\sin x}{x}

因此同样有

\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1, x < 0

注意到

lim_{x \to 0} \cos x = 1

应用三明治定理, 得

lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.

Tip

重要极限二

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ $\mathrm{e}$ (欧拉数_Rd)有密切的联系. Jacob Bernoulli 于1683年在研究复利的时候考虑过这个数列的极限.

Jakob Bernoulli

雅各布·伯努利与数e的发现

Caution

上机实验

limit_array_e.ipynb: 函数极限的例子.

Important

单调有界数列有极限

Important

重要极限2

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e

证明见教学视频或问DeepSeek.

Warning

lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\frac{1}{x}} = e

Caution

可以证明

e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!} + \dots

证明的方法也是用单调有界数列有极限.

中学学过导数的同学可以算一下展开式

e^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + \dots

的导数, 看看会发现什么有趣的现象?

1.2.5 复合函数的极限

Tip

下面的结论相当于极限运算中的换元法, 在计算极限的时候十分有用.

Warning

$y=f[g(x)]$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}g(x) = u_0$ $\displaystyle \lim_{u\rightarrow u_0}f(x) = A$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f[g(x)] = A$ .

这个结论请自行根据直觉理解, 证明略.

Note

综合运用极限的定义, 极限的四则运算和复合函数的极限 (换元法), 以及三明治定理和单调有界数列有极限等结论, 我们现在可以计算很多数列和函数的极限.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}$ (P48: 例1)

解：

\begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = lim_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}) \\ = & (lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}) \cdot (lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}) \\ = & 1 \end{aligned}

Note

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$ (P48: 例2)

解：

\begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2}} \\ = & lim_{x \to 0} (\frac{\sin^{2} x}{x^{2}} \cdot \frac{1}{1 + \cos x}) \\ = & lim_{x \to 0} {(\frac{\sin x}{x})}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \cos x} \\ = & \frac{1}{2} \end{aligned}

Note

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\arcsin x}{x}$ (P48: 例3)

解 $t = \arcsin x$ $x = \sin t$ $x \to 0$ $t \to 0$ . 于是由复合函数的极限运算法则得：

lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} = 1

Note

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\left( 1-\frac{1}{x}\right)^{x}$ (P51: 例4)

解 $t = -x$ $x \to \infty$ $t \to -\infty$ .
于是

\begin{aligned} lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{1}{x})}^{x} = lim_{t \to - \infty} {(1 + \frac{1}{t})}^{- t} \\ = & lim_{t \to - \infty} \frac{1}{{(1 + \frac{1}{t})}^{t}} = \frac{1}{e} \end{aligned}

Note

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan 2x}{\sin 5x}$

解 $u = 2x$ $v = 5x$ $x \rightarrow 0$ $u \rightarrow 0$ $v \rightarrow 0$ $\displaystyle x = \frac{u}{2} = \frac{v}{5}$ $\displaystyle v = \frac{5}{2}u$ .

$t = 2x$ $x\to 0$ $t = 5x$ $x\to 0$ 时的极限也为1. 故

lim_{x \to 0} \frac{\tan 2 x}{\sin 5 x} = \frac{2}{5} .

1.3 连续函数

1.3.1 连续和间断

Tip

所谓连续函数, 直白的说就是能笔不离开纸面一气画出来的函数, 下面我们就来运用极限的概念把这个连续的直观_Rd给数学化.

Important

函数在某一点的连续

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = f(x_0)$ $f(x)$ $x_0$ 处连续.

连续函数

每一点都连续 $f(x)$ 是该区域上的连续函数.

Note

连续函数

$f(x) = |x|$

$f(x)$ $(-\infty, +\infty)$ 上连续.

绝对值函数

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{|x|}$

$f(x)$ $(-\infty,0)\bigcup (0, +\infty)$ 上连续, 但是在 0 点处不连续.

绝对值的倒数

Warning

间断函数

不连续的函数就是间断函数. 间断函数一定有某处是不连续的, 造成不连续的原因很多, 其中有些间断点还能够被挽救回来变成连续的 (可去间断点), 有些则挽救不回来.

Note

间断函数的例子

$\displaystyle f(x) = \frac{\sin x}{x}$

$x=0$ $f(0)$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = f(0)$ 无从说起.

$f(x)$ $x=0$ $f(0) = 1$ $f(x)$ 改良 $f(x)$ $x \in (-\infty, \infty)$ 都连续.

$f(x)=\displaystyle \sin\frac{1}{x}$

$f(x)$ $x=0$ 例3 $f(0)$ 没有定义.

$f(x)$ $x=0$ 处无限震荡, 没有极限, 所以这个函数没法像例3一样简单的补上一个点就成为连续函数.

震荡函数

Warning

单侧极限

左连续 $-$ 号)

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0^-} f(x) = A \iff \forall \varepsilon > 0$ $\exist \delta>0$ $|f(x) - A| < \varepsilon$ $-\delta < x-x_0 < 0$ .

右连续 $+$ 号)

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0^+} f(x) = A \iff \forall \varepsilon > 0$ $\exist \delta>0$ $|f(x) - A| < \varepsilon$ $0 < x-x_0 < \delta$ .

$f(x)$ $x=x_0$ $f(x)$ 的左右极限不相等.

Note

$\mathrm{sgn}(x)$

\begin{matrix} sgn (x) = {\begin{cases} 1, & if x > 0, \\ 0, & if x = 0, \\ - 1, & if x < 0 . \end{cases} \end{matrix}

$x_0=0$ $x$ $-1$ $x$ $1$ $f(0)$ 的值来让函数连续.

Warning

函数的连续性是一个很自然的性质, 我们所感受到的世界就是连续的: 物体运动的轨迹, 温度的变化, 甚至计算机里的0-1也是用连续函数来近似的.

在做目标追踪问题的时候, 连续是一个很重要的先验;
在求解物理方程的时候, 解的连续性是一个很重要的约束;
在人工智能里, 连续性是解决高维问题的一个核心底层逻辑.

1.3.2 闭区间上连续函数的性质

Tip

闭区间上的连续函数是函数中的乖宝宝_Gn, 因为这类函数的值总是可以被控制住.

Important

闭区间上连续函数的定义

$f(x)$ $(a, b)$ $a$ $b$ $f(x)$ $[a, b]$ 上的连续函数.

Important

维尔斯特拉斯 (Weierstrass) 极值定理/极大极小值定理

$[a, b]$ $x_1 \in [a, b]$ $f(x_1)$ $f(x)$ $[a, b]$ $x_2 \in [a, b]$ $f(x_2)$ $f(x)$ $[a, b]$ 上的最小值.

Note

两个反例

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$

$[-1,1]$ $f(x)$ $x=0$ $f(0)$ $f(x)$ $[-1,1]$ $f(x)$ $[-1,1]$ $x \to 0$ $\displaystyle \lim_{x \to 0} |f(x)| \to +\infty$ ,不存在最大值和最小值.

例2: 符号函数

\begin{matrix} sgn (x) = {\begin{cases} 1, & if x > 0, \\ 0, & if x = 0, \\ - 1, & if x < 0 . \end{cases} \end{matrix}

$[-1, 1]$ $x=0$ 处, 符号函数的左右极限不相等.

Important

布尔查诺 (Bolzano) 定理/介值定理

$[a, b]$ $f(x)$ $f(a) < 0$ $f(b) > 0$ $x_0 \in [a, b]$ $f(x_0) = 0$ .

Note

$x^{3} - 4x^{2} + 1 = 0$ $(0,\,1)$ 内至少有一个根

证明 $f ( x ) = x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } + 1$ $[0, 1]$ $f ( 0 ) = 1 >0$ $f ( 1 ) = - 2< 0$ .

$[0, 1]$ $c$ $f(c) = 0$ $x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } + 1 = 0$ 的一个根．

Caution

布尔查诺定理时一个存在性定理, 它只告诉我们一个东西有还是没有, 与之相对的是所谓的构造性定理, 后者会给出找出这个东西的具体办法. 存在性定理和构造性定理都是数学的重要组成部分, 按照一般的理解, 前者在纯数学中的地位更高, 后者则一般更受工程师和程序员的青睐.

$A$ $B$ $A$ $B$ . (注：所谓一个"区域", 是指平面内一条简单闭曲线所包围的部分.)

直线同时等分两个区域

证明：

$P$ $P$ $PR$ $PR$ $x$ $PS$ $PS$ 同方向且 $A$ 的有向直线.

$PS$ $l_1$ $A$ $l_2$ $A$ $A$ $l_1$ $l_2$ $l_x$ $l_x$ $A$ $x$ $x = 0^\circ$ $x = 360^\circ$ $x$ , $A$ $l_x$ 都是唯一确定的.

$y = f(x)$ $B$ $l_x$ $B$ $l_x$ $l_0$ $PR$ $A$ $B$ $l_0$ $x = 0^\circ$ $y$ $x$ $180^\circ$ $l_{180}$ $RP$ $l_0$ $A$ $l_0$ $y$ $x = 180^\circ$ $x = 0^\circ$ 时的数值相同, 但符号相反, 所以是负的. $l_x$ $y$ $x$ $0^\circ$ $180^\circ$ $x$ $\alpha$ $y$ 等于零.

$l_\alpha$ $A$ $B$ , 证明完毕.

第1章 极限

1.1 集合与映射

1.1.1 集合

1.1.2 映射

1.1.3 函数

1.2 极限

1.2.1 数列极限

1.2.2 函数极限

1.2.3 极限的运算

1.2.4 两个重要的极限

1.2.5 复合函数的极限

1.3 连续函数

1.3.1 连续和间断

1.3.2 闭区间上连续函数的性质

第1章极限