第3章微分3.1 微分的概念3.1.1 微分与导数3.2 借助微分计算导数3.2.1 复合函数求导的链式法则3.2.2 隐函数求导3.2.3 反函数求导3.2.4 更多的高阶导数计算3.3 借助微分计算极限3.3.1 洛必达法则

第3章微分

Tip

上一章我们通过极限给出了导数的定义, 并指出导数的几何意义是函数某一点处切线的斜率. 通过计算函数切线的斜率, 我们可以判断函数的增减性及其极值.

本章我们将介绍微分的概念, 并揭示微分与导数之间的朴实却深刻的联系. 微分是微积分的核心思想, 将在后续的课程中贯穿始终.

3.1 微分的概念

Tip

微分 (differential)无穷小的改变量 (infinitesimally small change) $d$ $dx$ $x$ $dy$ $y$ $\Delta x$ $\Delta x$ $dx$ 想传达的意思很相近, 都是很小的量, 但是在数学它们是有区别的.

$\Delta x$ 表示一个非常小但固定的数.
$dx$ 则表示一个"无穷小量", 它不再是一个固定的数, 而是蕴含了某个极限过程.

Note

$\Delta t$ $\Delta s = s(t +\Delta t) - s(t)$ $\Delta t \to 0$ 时间的微分 $dt$ 位移的微分 $ds$ .

微分的例子1

Note

$\theta$ $y = b$ $(x, b)$ $\Delta \theta$ $x$ $\Delta x$ $\Delta \theta \to 0$ 角度的微分 $d\theta$ x的微分 $dx$ .

微分的例子2

3.1.1 微分与导数

Tip

$dx$ $dy$ $dx$ $dy$ 正动力学 $dy$ $dx$ 逆动力学 $dx$ $dt$ $dx$ $d\theta$ 的关系反映了激光光斑的位置随发射角度之间的变化关系, 这些都是物理中所关心的量.

那么如何确定两个微分之间的关系呢? 如果我们能够写出两个变量之间所满足的函数关系, 很容易就可以得到这两个变量所对应的微分之间的关系, 这是微分学的一个重要成就.

Important

微分与导数的关系

$x$ $y$ $y = f(x)$ $dy = f'(x) dx$ .

Note

我们首先通过数值计算来验证上述关系.

例1: 我们分别考虑两种直线运动: 匀速运动** 和 匀加速运动.**

对于匀速运动,

s = s_{0} + v t

根据微分公式, 位移的微分与时间的微分满足关系:

d s = v d t

对于初速度为0的匀加速运动, 其位移随时间的函数为

s = s_{0} + \frac{1}{2} a t^{2}

根据微分公式, 位移的微分与时间的微分满足关系:

d s = a t d t

$\Delta x$ $\Delta s$ $v = 2m/s, a = 2m/s^2, t=1s$ ).

表格1

精确 $\Delta t$ $\Delta t\to 0$ 时, 误差的极限也区域0, 由此得到微分公式中的等式成立.

Note

$x$ $\theta$ $\displaystyle x = \frac{b}{\tan \theta}$

根据微分公式, 我们有

x = - b \frac{1}{\sin^{2} θ} d θ

$d\theta$ $\displaystyle b \frac{1}{\sin^2 \theta}d \theta$ .

$x$ $l$ , 则

l = \frac{b}{\sin θ}

此时的微分公式给出

d l = - b \frac{\cos θ}{\sin^{2} θ} d θ

$d\theta$ $\displaystyle -b \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}d\theta$ .

$\Delta \theta$ $x$ $l$ $\theta = \displaystyle\frac{\pi}{3}$ ):

$\Delta \theta$ $\Delta t\to 0$ 时, 误差的极限也区域0.

$\Delta x$ 很小时, 近似满足

Δ y \approx f^{'} (x) Δ x

$\Delta x \to 0$ 的极限, 上式约等于变成等于

d y = f^{'} (x) d x

Warning

接下来我们结合导数的定义来理解微分公式. 在上一章中，我们曾从函数图像切线的角度出发，借助极限给出导数的定义:

f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} .

$\Delta y$ . 因此形式上我们有

f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{d y}{d x}

$\Delta x \to 0$ $\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}$ $\displaystyle\frac{dy}{dx}$ 。

$\displaystyle\frac{dy}{dx}$ $\dfrac{dy}{dx}$ 表示导数，常见的表达方式包括:

\frac{d y}{d x} \sim y^{'} (x)

\frac{d f (x)}{d x} \sim f^{'} (x)

{\frac{d f (x)}{d x} |}_{x = x_{0}} \sim f^{'} (x_{0})

$dx$ $dy$ 作为独立的“微分”概念，从而将导数的定义式

\frac{d y}{d x} = f^{'} (x)

变形成等式

d y = f^{'} (x) d x

$y$ $x$ 的微分呈线性关系，它的背后体现了化曲为直的思想, 具体体现在

\begin{aligned} d y = f^{'} (x_{0}) d x \\ ↓ \\ Δ y \approx f^{'} (x_{0}) Δ x \\ ↓ \\ f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) \approx f^{'} (x_{0}) Δ x \\ ↓ \\ f (x_{0} + Δ x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) Δ x \end{aligned}

微分与线性近似

$x_0$ $(x_0, f(x_0))$ $f'(x_0)$ 的直线. 在局部用一条直线来近似函数也就是所谓的化曲为直, 这是微积分中一个极其重要的思想.

Warning

基于微分符号所建立的导数定义与运算规则非常直观，在后续课程中，我们将进一步领略微分思想的强大力量，并体会良好符号系统为数学带来的美感与实用价值。

3.2 借助微分计算导数

Tip

借助微分的思想和符号可以帮助我们去处理更加复杂的求导运算, 包括复合函数求导和隐函数求导.

3.2.1 复合函数求导的链式法则

Tip

非常重要!

Important

链式法则 (Chain Rule)

$y = f(u)$ $u = g(x)$ $u = g(x)$ $x$ 可导，则:

[f (g (x))]^{'} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

$du$ , 得到

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} .

Note

$y = \mathrm{e}^{x^2}$ $\displaystyle\frac{dy}{dx}$

解 $y = \mathrm{e}^{x^2}$ $y = \mathrm{e}^u$ $u = x^2$ 复合而成，因此:

\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ = e^{u} \cdot 2 x \\ = 2 x e^{x^{2}} \end{aligned}

Note

$y = \displaystyle\cos \frac{x^2-1}{3x}$ $\displaystyle\frac{dy}{dx}$

解 $y = \displaystyle\cos \frac{x^2-1}{3x}$ $\displaystyle y = \cos u, u = \frac{x^2-1}{3x}$ $\displaystyle \frac{dy}{du} = -\sin u,$ $\displaystyle \frac{du}{dx} = \frac{x^2 + 1}{3x^2},$ 所以

\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & = - \sin u \cdot \frac{x^{2} + 1}{3 x^{2}} \\ = - \frac{x^{2} + 1}{3 x^{2}} \cdot \sin \frac{x^{2} - 1}{3 x} \end{aligned}

Note

$y = \ln \cos x$ $\displaystyle\frac{dy}{dx}$ .

解 $y = \ln \cos x$ $y = \ln u$ $u = \cos x$ 复合而成。所以

\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ = \frac{1}{\cos x} \cdot (- \sin x) \\ = - \tan x \end{aligned}

Note

$y = \sqrt{1 + 3x^3}$ $\displaystyle\frac{dy}{dx}$ .

解 $\displaystyle y = \sqrt{1 + 3x^3} = (1 + 3x^3)^{\frac{1}{2}}$ $y = u^{\frac{1}{2}}$ $u = 1 + 3x^3$ 复合而成。所以

\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d u} \cdot {\frac{d u}{d x}}^{'} \\ = \frac{1}{2 \sqrt{1 + 3 x^{3}}} \cdot 9 x^{2} \\ = \frac{9 x^{2}}{2 \sqrt{1 + 3 x^{3}}} \end{aligned}

Note

$y = \ln \sin(2x^2)$ $\displaystyle\frac{dy}{dx}$

解 $y = \ln u, u = \sin v, v = 2x^2$ 。

\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & = \frac{1}{u} \cdot \cos v \cdot 4 x \\ = \frac{\cos (2 x^{2})}{\sin (2 x^{2})} \cdot 4 x \\ = 4 x \cot (2 x^{2}) . \end{aligned}

Note

$y = \mathrm{e}^{\cos \sqrt{x}}$ $y'$

解:

逐层求导:

\frac{d y}{d u} = e^{u} = e^{\cos \sqrt{x}}

\frac{d u}{d v} = - \sin v = - \sin \sqrt{x}

\frac{d v}{d x} = \frac{1}{2} x^{- 1 / 2} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

根据链式法则:

\begin{aligned} y^{'} & = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x} \\ = e^{\cos \sqrt{x}} \cdot (- \sin \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ = - \frac{e^{\cos \sqrt{x}} \sin \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} . \end{aligned}

Note

$y = \cos 2x \cdot \cos^2 x$ $y'$

解 :

\begin{aligned} y^{'} & = (\cos 2 x) \cos^{2} x + \cos 2 x (\cos^{2} x) \\ = - 2 \sin 2 x \cos^{2} x + \cos 2 x (- 2 \sin x \cos x) \\ = - 2 \cos x (\sin 2 x \cos x + \cos 2 x \sin x) \\ = - 2 \cos x \sin 3 x . \end{aligned}

3.2.2 隐函数求导

Tip

$x$ $y$ $dy$ $dx$ 之间的关系, 一些复杂的函数的导数通过隐函数更容易计算.

Note

$\ln y + x^2y - 1 = 0$ $\displaystyle\frac{dy}{dx}$ .

解 $x$ $y$ $x$ 的函数:

左边求导:

\frac{d}{d x} (\ln y + x^{2} y - 1) = \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} + 2 x y + x^{2} \frac{d y}{d x}

右边求导:

\frac{d}{d x} (0) = 0

令两边相等:

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} + 2 x y + x^{2} \frac{d y}{d x} = 0

$\frac{dy}{dx}$ 的项:

(\frac{1}{y} + x^{2}) \frac{d y}{d x} = - 2 x y

解得:

\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & = - \frac{2 x y}{\frac{1}{y} + x^{2}} \\ = - \frac{2 x y^{2}}{1 + x^{2} y} (y \neq 0) \end{aligned}

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{2xy^2}{1 + x^2y}$ .

Note

$y^3 + 3y - x^2 - 2x^5 = 0$ $x = 0$ $\displaystyle\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}$ .

解 :

$x$ $y$ $x$ 的函数）:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} (y^{3} + 3 y - x^{2} - 2 x^{5}) \\ = 3 y^{2} \frac{d y}{d x} + 3 \frac{d y}{d x} - 2 x - 10 x^{4} \\ = 0 \end{aligned}

$\displaystyle\frac{dy}{dx}$ 的方程:

(3 y^{2} + 3) \frac{d y}{d x} = 2 x + 10 x^{4}

解得

\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 10 x^{4}}{3 y^{2} + 3}

$x = 0$ $y$ 值:

\begin{aligned} y^{3} + 3 y - 0 - 0 = 0 \\ \Rightarrow y^{3} + 3 y = 0 \\ \Rightarrow y (y^{2} + 3) = 0 \end{aligned}

$y = 0$

$x = 0$ $x = 0$ $y = 0$ $\displaystyle \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}= \frac{0 + 0}{0 + 3} = 0$

Note

$\displaystyle\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ $(3\sqrt{2}, 2)$ 处的切线方程.

解 $x$ 求导:

\frac{2 x}{9} - \frac{2 y}{4} \cdot \frac{d y}{d x} = 0 \Rightarrow \frac{x}{9} - \frac{y}{2} \cdot \frac{d y}{d x} = 0

解得

\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{9 y}

$(3\sqrt{2}, 2)$ 处:

k = {\frac{d y}{d x} |}_{(3 \sqrt{2}, 2)} = \frac{2 \times 3 \sqrt{2}}{9 \times 2} = \frac{\sqrt{2}}{3}

于是所求的切线方程为:

\begin{aligned} y - 2 = \frac{\sqrt{2}}{3} (x - 3 \sqrt{2}) \\ \Rightarrow 3 y - 6 = \sqrt{2} x - 6 \\ \Rightarrow \sqrt{2} x - 3 y = 0 \end{aligned}

3.2.3 反函数求导

Tip

反函数求导可以看作是隐函数求导的特例.

Note

[不要用书上的做法, 用隐函数求导] $y = \arcsin x$ $-1 < x < 1$ $y'$

解 $y = \arcsin x$ $x = \sin y$ $x = \sin y$ $x$ $y$ $x$ 的函数）:

\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\sin y)

1 = \cos y \cdot \frac{d y}{d x}

$\cos y$ $x$ 表示:

$\displaystyle \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$ $\displaystyle-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ $\cos y > 0$ ，故取正根）

$\displaystyle \frac{dy}{dx} =(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

$\displaystyle (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ .

Note

[不要用书上的做法, 用隐函数求导]

$y = \arctan x$ $x \in \mathbb{R}$ $y'$

解 :

$y = \arctan x$ $x = \tan y$ $x = \tan y$ $x$ $y$ $x$ 的函数）:

\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\tan y)

1 = \sec^{2} y \cdot \frac{d y}{d x}

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} y}

$\sec^2 y$ $x$ 表示:

利用三角恒等式:

\sec^{2} y = 1 + \tan^{2} y = 1 + x^{2}

故得到结果:

\frac{d y}{d x} = (\arctan x)^{'} = \frac{1}{1 + x^{2}}

$\displaystyle (arccot x)' = -\frac{1}{1+x^2}$ .

Note

$y = (x^2)^{\ln x}$ $x > 0$ ）的导数

解 : 利用对数求导法两边取对数:

\begin{aligned} \ln y & = \ln ((x^{2})^{\ln x}) \\ = \ln x \cdot \ln (x^{2}) \\ = \ln x \cdot 2 \ln x \\ = 2 (\ln x)^{2} \end{aligned}

$x$ 求导得:

\begin{aligned} \frac{1}{y} \cdot y^{'} & = 2 \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \\ = \frac{4 \ln x}{x} \end{aligned}

$y'$ 得到:

\begin{aligned} y^{'} & = y \cdot \frac{4 \ln x}{x} \\ = (x^{2})^{\ln x} \cdot \frac{4 \ln x}{x} \end{aligned}

Note

$\displaystyle y = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-4)(x-5)} }$ 的导数

解 $x > 5$ ，在等式两边取对数:

\ln y = \frac{1}{2} [\ln (x - 1) + \ln (x - 2) - \ln (x - 4) - \ln (x - 5)

$x$ $y$ $x$ 的函数）:

\frac{1}{y} y^{'} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x - 5})

整理得到导数表达式:

y^{'} = \frac{y}{2} (\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x - 5})

$\displaystyle y = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-4)(x-5)} }$ 代入,得:

y^{'} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(x - 1) (x - 2)}{(x - 4) (x - 5)}} (\frac{1}{x - 1} + > \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x - 5})

3.2.4 更多的高阶导数计算

Tip

微分的思想也可以帮助我们来理解和计算高阶导数, 结合链式法则, 我们可以进行更加复杂的计算.

Caution

常用记号

$f'(x)$ $f''(x)$ $f'''(x)$ $f^{(n)}(x)$ $\cdots$ .
$\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)$ $\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}f(x)$ $\displaystyle \frac{d^3}{dx^3}f(x)$ $\displaystyle \frac{d^{n}}{dx^{n}}f(x)$ $\cdots$ .

Note

$y =\cos ax$ $y''$

解 $y'$ ,

y^{'} = \frac{d}{d x} \cos a x = - a \sin a x

$y''$ :

\begin{aligned} y^{″} & = \frac{d}{d x} (- a \sin a x) \\ = - a \cdot a \cos a x \\ = - a^{2} \cos a x \end{aligned}

最终得到:

y^{″} = - a^{2} \cos a x

Note

$y = \mathrm{e}^{kx}$ $k$ $n$ 阶导数

解
$\displaystyle y' = \frac{d}{dx} \mathrm{e}^{kx} = k\mathrm{e}^{kx}$

$\displaystyle y'' = \frac{d}{dx} (k\mathrm{e}^{kx}) = k^2 \mathrm{e}^{kx}$

$\displaystyle y''' = \frac{d}{dx} (k^2 \mathrm{e}^{kx}) = k^3 \mathrm{e}^{kx}$

$\displaystyle y^{(4)} = \frac{d}{dx}(k^3 \mathrm{e}^{kx})=k^4 \mathrm{e}^{kx}$

$k$ $\displaystyle y^{(n)} = k^n \mathrm{e}^{kx}$

Note

$\displaystyle x + 2y - \frac{1}{3}\cos y = 0$ $\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}$ .

解 $x$ 求导:

\frac{d}{d x} (x + 2 y - \frac{1}{3} \cos y) = 0

1 + 2 \frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} \sin y \cdot \frac{d y}{d x} = 0

\frac{d y}{d x} (2 + \frac{1}{3} \sin y) = - 1

\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{2 + \frac{1}{3} \sin y} = \frac{- 3}{6 + \sin y}

$\displaystyle\frac{dy}{dx} = \frac{-3}{6 + \sin y}$ $x$ 求导:

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{3 \cos y \cdot \frac{- 3}{6 + \sin y}}{(6 + \sin y)^{2}}

$\displaystyle\frac{dy}{dx}$ 得到:

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{- 9 \cos y}{(6 + \sin y)^{3}} .

Note

最后我们回过头来看一下图2中所给出的例子. 上面我们已经得到

d x = - b \frac{1}{\sin^{2} θ} d θ, d l = - b \frac{\cos θ}{\sin^{2} θ} d θ

$dx$ $dl$ $\dfrac{dx}{dl}$ ，可以采用以下两种方法:

方法一: 建立 x 与 l 的显式函数关系

$l = \dfrac{b}{\sin \theta}$ $\sin \theta = \dfrac{b}{l}$ $x = \dfrac{b}{\tan \theta} = b\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}$ 得:

\begin{aligned} x & = b \cdot \frac{\cos θ}{\sin θ} \\ = b \cdot \frac{\sqrt{1 - \sin^{2} θ}}{\sin θ} \\ = b \cdot \frac{\sqrt{1 - (b / l)^{2}}}{b / l} \\ = l \cdot \sqrt{1 - {(\frac{b}{l})}^{2}} \end{aligned}

$l$ 求导得:

\begin{aligned} \frac{d x}{d l} & = \sqrt{1 - {(\frac{b}{l})}^{2}} + l \cdot \frac{1}{2 \sqrt{1 - (b / l)^{2}}} \cdot \frac{2 b^{2}}{l^{3}} \\ = \frac{1}{\sqrt{1 - (b / l)^{2}}} \\ = \frac{1}{\cos θ} \end{aligned}

$dx = \dfrac{1}{\cos \theta} dl$ 。

方法二: 直接利用微分之比

$dx$ $dl$ 的表达式直接相除:

\frac{d x}{d l} = \frac{- b \frac{1}{\sin^{2} θ} d θ}{- b \frac{\cos θ}{\sin^{2} θ} d θ} = \frac{1}{\cos θ}

$dx = \dfrac{1}{\cos \theta} dl$ 。

两种方法结果一致，但第二种方法通过直接操作微分，避免了复杂的函数关系和求导过程，显示了微分运算的简洁性与灵活性。在实际问题中，灵活运用微分关系可以大大简化计算，这正是微分思想的强大之处。

3.3 借助微分计算极限

Tip

借助微分的思想和符号还可以帮助我们去理解一个较为使用的求极限方法: 洛必达法则.

3.3.1 洛必达法则

Important

洛必达法则 $\displaystyle\frac{0}{0}$ $\displaystyle\frac{\infty}{\infty}$ ) 下极限的有力工具.

$f(x)$ $g(x)$ $x=c$ 的某个邻域内可导，且在该点附近有:

$f(c) = 0$ $g(c) = 0$ $f(x)$ $g(x)$ $\infty$ ).
$g'(x) ≠ 0$ .

那么

lim_{x \to c} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to c} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)},

前提是后者的极限存在.

注意 $\displaystyle\frac{f'(x)}{g'(x)}$ $\displaystyle\frac{0}{0}$ $\displaystyle\frac{\infty}{\infty}$ 的形式时.

Warning

下面我们借助微分的思想来理解洛必达法则.

$x$ $c$ $f(c) = g(c) = 0$ $c$ 附近有:

f (x) \approx f (c) + f^{'} (c) (x - c) = f^{'} (c) (x - c)

g (x) \approx g (c) + g^{'} (c) (x - c) = g^{'} (c) (x - c)

因此，原比式的极限可近似表示为:

\frac{f (x)}{g (x)} \approx \frac{f^{'} (c) (x - c)}{g^{'} (c) (x - c)} = \frac{f^{'} (c)}{g^{'} (c)}

$x \to c$ 时，这一近似将趋于精确。这正是洛必达法则的直观含义——在极限过程中，分子与分母的变化趋势由它们在该点的导数之比决定。

$\infty/\infty$ $f(x)$ $g(x)$ $x \to c$ 过程中的相对变化速率，而导数正是刻画这种瞬时变化率的工具。

柯西中值定理 $\dfrac{f'(c)}{g'(c)}$ $\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ $\xi$ $x$ $c$ 之间, 从而得到使用起来更加灵活的洛必达法则。这部分内容我们放在了后面的章节中.

Note

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx}$ $b \neq 0$ ）

解 :

\begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{\sin a x}{\sin b x} & = lim_{x \to 0} \frac{a \cos a x}{b \cos b x} \\ = \frac{a}{b} \end{aligned}

Note

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x + 2}{x^3 - x^2 - x + 1}$

解 :

\begin{aligned} lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 3 x + 2}{x^{3} - x^{2} - x + 1} & = lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x^{2} - 2 x - 1} \\ = lim_{x \to 1} \frac{6 x}{6 x - 2} \\ = \frac{3}{2} \end{aligned}

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{6x}{6x - 2}$ 已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误结果。以后使用洛必达法则时应当经常注意这一点，如果不是未定式，那么就不能应用洛必达法则。

Note

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

解 :

\begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^{3}} & = lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3 x^{2}} \\ = lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6 x} \\ = \frac{1}{6} \end{aligned}

Note

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{\pi}{2} - \arctan x}{\frac{1}{x}}$

解 :

\begin{aligned} lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{π}{2} - \arctan x}{\frac{1}{x}} & = lim_{x \to + \infty} \frac{- \frac{1}{1 + x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}}} \\ = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \\ = 1 \end{aligned}

Note

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} (n>0)$

解 :

\begin{aligned} lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x^{n}} & = lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{1}{x}}{n x^{n - 1}} \\ = lim_{x \to + \infty} \frac{1}{n x^{n}} \\ = 0 \end{aligned}

Note

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^{\lambda x}} (n\text{为正整数}, \lambda > 0)$

解 $n$ 次，得

\begin{aligned} lim_{x \to + \infty} \frac{x^{n}}{e^{λ x}} & = lim_{x \to + \infty} \frac{n x^{n - 1}}{λ e^{λ x}} \\ = lim_{x \to + \infty} \frac{n (n - 1) x^{n - 2}}{λ^{2} e^{λ x}} \\ = \dots \\ = lim_{x \to + \infty} \frac{n!}{λ^{n} e^{λ x}} \\ = 0 \end{aligned}

$n$ 不是正整数而是任何正数，那么极限仍为零。

$\ln x$ $x^n (n>0)$ $\mathrm{e}^{\lambda x} (\lambda > 0)$ $x \to +\infty$ 时的无穷大，但从例5、例6可以看出，这三个函数增大的"速度"是很不一样的，幂函数增大的"速度"比对数函数快得多，而指数函数增大的"速度"又比幂函数快得多。

$x$ $\ln x$ $\sqrt{x}$ $x^2$ $\mathrm{e}^x$ $x$ 增大时这几个函数增大"速度"快慢的情况。

\begin{array}{cccc} x & 10 & 100 & 1000 \\ \ln x & 2.3 & 4.6 & 6.9 \\ \sqrt{x} & 3.2 & 10 & 31.6 \\ x^{2} & 100 & 10^{4} & 10^{6} \\ e^{x} & 2.20 \times 10^{4} & 2.69 \times 10^{43} & 1.97 \times 10^{434} \end{array}

Note

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^n \ln x (n>0)$

解 :

x^{n} \ln x = \frac{\ln x}{\frac{1}{x^{n}}}

$x \to 0^+$ $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$ ，应用洛必达法则，得

\begin{aligned} lim_{x \to 0^{+}} x^{n} \ln x & = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln x}{x^{- n}} \\ = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- n x^{- n - 1}} \\ = lim_{x \to 0^{+}} (- \frac{x^{n}}{n}) \\ = 0 \end{aligned}

Note

$\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sec x - \tan x)$

解 $\infty - \infty$ 。因为

\sec x - \tan x = \frac{1 - \sin x}{\cos x}

$\displaystyle x \to \frac{\pi}{2}$ $\displaystyle \frac{0}{0}$ ，应用洛必达法则，得

\begin{aligned} lim_{x \to \frac{π}{2}} (\sec x - \tan x) & = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin x}{\cos x} \\ = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos x}{- \sin x} \\ = 0 \end{aligned}

Note

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^x$

解 $0^0$ $y = x^x$ ，取对数得

\ln y = x \ln x

$x \to 0^+$ $0 \cdot \infty$ 。应用例7的结果，得

lim_{x \to 0^{+}} \ln y = lim_{x \to 0^{+}} (x \ln x) = 0

$y = \mathrm{e}^{\ln y}$ $\displaystyle \lim_{} y = \lim_{} \mathrm{e}^{\ln y} = \mathrm{e}^{\lim_{} \ln y}$ $x \to 0^+$ )，所以

lim_{x \to 0^{+}} x^{x} = lim_{x \to 0^{+}} y = e^{0} = 1

Note

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^2 \sin x}$

解 : 如果直接用洛必达法则，那么分母的导数（尤其是高阶导数）较繁。如果作一个等价无穷小替代，那么运算就方便得多。其运算如下：

\begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^{2} \sin x} & = lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^{3}} \\ = lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} x - 1}{3 x^{2}} \\ = lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} x \tan x}{6 x} \\ = \frac{1}{3} \cdot lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{3 x} \\ = \frac{1}{3} \end{aligned}

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后面的章节中, 我们会介绍更加强大的计算极限的工具---泰勒展开. 而泰勒展开体现的也是微分的思想.

第3章 微分

3.1 微分的概念

3.1.1 微分与导数

3.2 借助微分计算导数

3.2.1 复合函数求导的链式法则

3.2.2 隐函数求导

3.2.3 反函数求导

3.2.4 更多的高阶导数计算

3.3 借助微分计算极限

3.3.1 洛必达法则

第3章微分