第4章 积分

Note

通过极限定义积分

让我们从一个具体例子出发: 计算由曲线$y=f(x)$$y = f(x)$、直线$x=a$$x = a$、$x=b$$x = b$以及$x$$x$轴所围成的曲边梯形的面积。

我们考虑一个具体的函数: 半径为$\sqrt{2}$$\sqrt{2}$、圆心在$(\sqrt{2},0)$$(\sqrt{2}, 0)$的圆的上半部分。 这个圆的方程为: $(x-\sqrt{2})²+y²=2$$(x - \sqrt{2})² + y² = 2$，所以上半圆的函数为 $y=f(x)=\sqrt{2-(x-\sqrt{2})²}$$y = f(x) = \sqrt{2 - (x - \sqrt{2})²}$。 我们计算这个上半圆在区间 $[0,2\sqrt{2}]$$[0, 2\sqrt{2}]$ 上的面积，这正好是半个圆的面积, 中学我们已经学过圆的面积公式, 知道这半个圆的面积正好等于 $\pi$$\pi$。

第一步: 分割 将区间 $[0,2\sqrt{2}]$$[0, 2\sqrt{2}]$ 分成 $n$$n$ 个小区间，设分点为: $0=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_n=2\sqrt{2}$$0 = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = 2\sqrt{2}$ 每个小区间长度为 $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$$\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ 为简单起见，我们可以采用等分，即 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=\frac{(2\sqrt{2}-0)}{n}=\frac{2\sqrt{2}}{n}}$$\displaystyle\Delta x =\frac{(2\sqrt{2} - 0)}{n} = \frac{2\sqrt{2}}{n}$

第二步: 近似代替 在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$$[x_{i-1}, x_i]$ 上任取一点 ${\xi }_i$$\xi_i$，例如取右端点 ${\xi }_i=x_i$$\xi_i = x_i$。 用高为 $f({\xi }_i)=\sqrt{2-({\xi }_i-\sqrt{2}{)}^2}$$f(\xi_i) = \sqrt{2 - (\xi_i - \sqrt{2})^2}$、宽为 $\mathrm{\Delta }x$$\Delta x$ 的小矩形面积 $f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }x$$f(\xi_i)\Delta x$ 来近似代替该小区间上曲边梯形的面积。

第三步: 求和 将所有小矩形的面积相加，得到整个曲边梯形面积的近似值:

这个和称为黎曼和(Riemann sum)

第四步: 取极限 当分割越来越细，即 $n\to \mathrm{\infty }$$n \to \infty$ 时，$\mathrm{\Delta }x\to 0$$\Delta x \to 0$，如果黎曼和的极限存在，我们就定义这个极限值为曲边梯形的面积:

取 $n=4,8,16,32,\dots$$n=4, 8, 16, 32, \ldots$ 计算 $S_n$$S_n$ 的值，会发现 $S_n$$S_n$ 趋近于 $\pi$$\pi$（见下表）。

这个表格直观地展示了黎曼和随着分割数 $n$$n$ 的增加而收敛于精确面积 $\pi$$\pi$ 的过程，体现了积分作为"无限细分、无限求和"极限过程的本质。

Note

通过定义计算积分

例1: 计算 ${\displaystyle {\int }_0^{1}xdx}$$\displaystyle\int_0^1 x\,dx$

解: 将 $[0,1]$$[0,1]$ $n$$n$ 等分，$\mathrm{\Delta }x={\displaystyle \frac{1}{n}}$$\Delta x = \displaystyle\frac{1}{n}$，取 ${\xi }_i$$\xi_i$ 为每个小区间的右端点，即 ${\displaystyle {\xi }_i=\frac{i}{n}}$$\displaystyle\xi_i = \frac{i}{n}$

$\begin{array}{c}{\displaystyle \begin{array}{rl}\text{黎曼和}& =\sum _{i=1}^n\left(\frac{i}{n}\right)\cdot \left(\frac{1}{n}\right)\\ & =\left(\frac{1}{n^2}\right)\sum _{i=1}^{n}i\\ & =\left(\frac{1}{n^2}\right)\cdot \frac{n(n+1)}{2}\\ & =\frac{n+1}{2n}\end{array}}\end{array}$$\displaystyle\begin{aligned} \text{黎曼和} &= \sum_{i=1}^n \left(\frac{i}{n}\right)\cdot\left(\frac{1}{n}\right) \\ &= \left(\frac{1}{n^2}\right) \sum_{i=1}^n i \\ &= \left(\frac{1}{n^2}\right)\cdot \frac{n(n+1)}{2} \\ &= \frac{n+1}{2n} \end{aligned}$

当 $n\to \mathrm{\infty }$$n\to\infty$ 时，${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}}$$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}$

${\displaystyle {\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}}$$\displaystyle\int_0^1 x\,dx = \frac{1}{2}$

例2: 计算 ${\displaystyle {\int }_0^1{x}^{2}dx}$$\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$

解: 同样 $n$$n$ 等分 $[0,1]$$[0,1]$，$\mathrm{\Delta }x=\frac{1}{n}$$\Delta x = \frac{1}{n}$，取 ${\xi }_i=\frac{i}{n}$$\xi_i = \frac{i}{n}$

$\begin{array}{c}{\displaystyle \begin{array}{rl}\text{黎曼和}& =\sum _{i=1}^n{\left(\frac{i}{n}\right)}^2\cdot \left(\frac{1}{n}\right)\\ & =\left(\frac{1}{n^3}\right)\sum _{i=1}^n{i}^2\\ & =\left(\frac{1}{n^3}\right)\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ & =\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\end{array}}\end{array}$$\displaystyle\begin{aligned} \text{黎曼和} &= \sum_{i=1}^n \left(\frac{i}{n}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{n}\right) \\ &= \left(\frac{1}{n^3}\right) \sum_{i=1}^n i^2 \\ &= \left(\frac{1}{n^3}\right)\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ &= \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} \end{aligned}$

当 $n\to \mathrm{\infty }$$n\to\infty$ 时，${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\frac{1}{3}}$$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} = \frac{1}{3}$

${\displaystyle {\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}}$$\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$

从这两个例子我们看到，用定义计算积分虽然思路直接，但过程繁琐。 在下一节中，我们将介绍微积分基本定理，它提供了计算定积分的强大工具。

Note

例1: 计算 ${\displaystyle {\int }_0^1{x}^{2}dx}$$\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$

解: $f(x)=x^2$$f(x) = x^2$ 的一个原函数是 $F(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}$$F(x) = \displaystyle\frac{x^3}{3}$ 根据微积分基本定理: ${\int }_0^1{x}^{2}dx=F(1)-F(0)=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}$$\int_0^1 x^2\,dx = F(1) - F(0) = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$

这与我们之前用黎曼和极限计算的结果一致，但过程简单得多。

Note

例2: 计算 ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\sin xdx}$$\displaystyle\int_0^\pi \sin x\,dx$

解: $\sin x$$\sin x$ 的一个原函数是 $-\cos x$$-\cos x$ 根据微积分基本定理: $\begin{array}{rl}{\int }_0^{\pi }\sin xdx& =[-\cos x{]}_0^{\pi }\\ & =-\cos \pi -(-\cos 0)\\ & =1+1=2\end{array}$$\begin{aligned}\int_0^\pi \sin x\,dx &= [-\cos x]_0^\pi \\&= -\cos\pi - (-\cos 0) \\&= 1 + 1 = 2\end{aligned}$

Note

例3: 计算 ${\displaystyle {\int }_1^e\frac{1}{x}dx}$$\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$

解: ${\displaystyle \frac{1}{x}}$$\displaystyle\frac{1}{x}$ 的一个原函数是 $\ln |x|$$\ln|x|$ 根据微积分基本定理: ${\int }_1^e\frac{1}{x}dx=\ln e-\ln 1=1-0=1$$\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$

这些例子展示了微积分基本定理的强大威力——它将复杂的极限计算简化为简单的代数运算。

Note

例1: 计算 ${\displaystyle \int 2x\cos \left(x^2\right)dx}$$\displaystyle\int 2x\cos(x^2)\,dx$

解: 令 $u=x^2$$u = x^2$，则 $du=2xdx$$du = 2x\,dx$ 原积分 $={\displaystyle \int \cos \left(u\right)du=\sin \left(u\right)+C=\sin \left(x^2\right)+C}$$= \displaystyle\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C = \sin(x^2) + C$

Note

例2: 计算 ${\displaystyle \int x\sqrt{x^2+1}dx}$$\displaystyle\int x\sqrt{x^2+1}\,dx$

解: 令 $u=x^2+1$$u = x^2+1$，则 $du=2xdx$$du = 2x\,dx$，$xdx={\displaystyle \frac{du}{2}}$$x\,dx = \displaystyle\frac{du}{2}$

$\begin{array}{rl}\text{原积分}& =\int \sqrt{u}\cdot \left(\frac{du}{2}\right)\\ & =\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}du\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}{u}^{\frac{3}{2}}+C\\ & =\frac{1}{3}(x^2+1{)}^{\frac{3}{2}}+C\end{array}$$\begin{aligned} \text{原积分} &= \int \sqrt{u}\cdot \left(\frac{du}{2}\right) \\ &= \frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}\,du \\ &= \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C \\ &= \frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}} + C \end{aligned}$

Note

例1: 计算 ${\displaystyle \int x{e}^{x}dx}$$\displaystyle\int x e^x\,dx$

解: 令 $u=x,dv=e^{x}dx$$u = x, dv = e^x\,dx$，则 $du=dx,v=e^x$$du = dx, v = e^x$ 原积分 $=x{e}^x-{\displaystyle \int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C}$$= x e^x - \displaystyle\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C$

Note

例2: 计算 ${\displaystyle \int \ln xdx}$$\displaystyle\int \ln x\,dx$

解: 令 $u=\ln x,dv=dx$$u = \ln x, dv = dx$，则 $du={\displaystyle \frac{1}{x}dx,v=x}$$du = \displaystyle\frac{1}{x}\,dx, v = x$

$\begin{array}{rl}\text{原}\text{积}\text{分}& =x\ln x-\int x\cdot \frac{1}{x}dx\\ & =x\ln x-\int dx\\ & =x\ln x-x+C\end{array}$$\begin{aligned} 原积分 &= x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx \\ &= x\ln x - \int dx \\ &= x\ln x - x + C \end{aligned}$

Note

例1: 计算 ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{pi}{2}}{\sin }^{2}x\cos xdx}$$\displaystyle\int_0^{\frac{pi}{2}} \sin^2 x \cos x\,dx$

解: 令 $u=\sin x$$u = \sin x$，则 $du=\cos xdx$$du = \cos x\,dx$

当 $x=0$$x = 0$ 时，$u=\sin 0=0$$u = \sin 0 = 0$；当 $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$x = \displaystyle\frac{\pi}{2}$ 时，$u=\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=1$$u = \sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) = 1$

原积分 ${\displaystyle ={\int }_0^1{u}^{2}du=\frac{u^3}{3}{|}_0^1=\frac{1}{3}}$$\displaystyle = \int_0^1 u^2\,du = \frac{u^3}{3}\Big|_0^1 = \frac{1}{3}$

Note

例2: 计算 ${\displaystyle {\int }_1^4\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx}$$\displaystyle\int_1^4 \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\,dx$

解: 令 $u=1+\sqrt{x}$$u = 1+\sqrt{x}$，则 $du={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}dx}$$du = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx$，$dx=2(u-1)du$$dx = 2(u-1)\,du$ 当 $x=1$$x = 1$ 时，$u=2$$u = 2$；当 $x=4$$x = 4$ 时，$u=3$$u = 3$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \begin{array}{rl}\text{原}\text{积}\text{分}& ={\int }_2^3\frac{u-1}{u}\cdot 2(u-1)du\\ & =2{\int }_2^3\frac{(u-1{)}^2}{u}du\\ & =2{\int }_2^3(u-2+\frac{1}{u})du\\ & =2{[\frac{u^2}{2}-2u+\ln |u|]}_2^3\\ & =[u^2-4u+2\ln |u|{]}_2^3\\ & =(9-12+2\ln 3)-(4-8+2\ln 2)\\ & =1+2\ln \left(\frac{3}{2}\right)\end{array}}\end{array}$$\displaystyle\begin{aligned}原积分 &= \int_2^3 \frac{u-1}{u} \cdot 2(u-1)\,du \\&= 2\int_2^3 \frac{(u-1)^2}{u}\,du \\&= 2\int_2^3 (u - 2 + \frac{1}{u})\,du \\&= 2\left[\frac{u^2}{2} - 2u + \ln|u|\right]_2^3 \\&= [u^2 - 4u + 2\ln|u|]_2^3 \\&= (9-12+2\ln 3) - (4-8+2\ln 2) \\&= 1 + 2\ln(\frac{3}{2})\end{aligned}$

Note

例1: 计算 ${\displaystyle {\int }_0^{1}x{e}^{x}dx}$$\displaystyle\int_0^1 x e^x\,dx$

解: 令 $u=x,dv=e^{x}dx$$u = x, dv = e^x\,dx$，则 $du=dx,v=e^x$$du = dx, v = e^x$。 $\begin{array}{rl}\text{原}\text{积}\text{分}& =[x{e}^x{]}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx\\ & =(1\cdot e-0)-[e^x{]}_0^1\\ & =e-(e-1)=1\end{array}$$\begin{aligned}原积分&= [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx \\&= (1\cdot e - 0) - [e^x]_0^1 \\&= e - (e - 1) = 1\end{aligned}$

Note

例2: 计算 ${\displaystyle {\int }_1^e\ln xdx}$$\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx$

解: 令 $u=\ln x,dv=dx$$u = \ln x, dv = dx$，则 $du={\displaystyle \frac{1}{x},dx,v=x}$$du =\displaystyle\frac{1}{x},dx, v = x$ $\begin{array}{rl}\text{原}\text{积}\text{分}& =[x\ln x{]}_1^e-{\int }_1^{e}x\cdot (\frac{1}{x})dx\\ & =(e\cdot 1-1\cdot 0)-{\int }_1^{e}dx\\ & =e-[x{]}_1^e=e-(e-1)\\ & =1\end{array}$$\begin{aligned}原积分 &= [x\ln x]_1^e - \int_1^e x\cdot(\frac{1}{x})\,dx \\&= (e\cdot 1 - 1\cdot 0) - \int_1^e dx \\& = e - [x]_1^e =e - (e - 1) \\& = 1\end{aligned}$