第6章第六章积分的应用6.1 几何应用: 求体积与弧长6.1.1 微元法思想6.1.2 体积的计算6.1.3 曲线弧长6.2 物理中的应用: 功与能量6.3 概率中的应用6.4 反常积分

第6章第六章积分的应用

6.1 几何应用: 求体积与弧长

6.1.1 微元法思想

Tip

微元法是积分学中解决几何与物理问题的核心思想，它将复杂的整体问题分解为无穷多个简单的局部问题。

基本思路：

分割：将所求的整体量对应的区域分割成许多微小部分
近似：在每个微小部分上，用简单的几何量近似代替复杂的实际量
求和取极限：将所有微小部分的近似值相加，然后通过取极限得到精确值

Important

微元法数学表述

$Q$ $dQ = f(x)dx$ ，然后通过积分得到

Q = \int_{a}^{b} d Q = \int_{a}^{b} f (x) d x

Note

例子 $y = f(x)$ $[a,b]$ $x$ 轴围成的面积

$[a,b]$ $n$ 个小区间
$[x, x+dx]$ $dA = f(x)dx$
$A = \displaystyle\int_a^b f(x)dx$

6.1.2 体积的计算

Note

例1 $A$ $h$ 的棱柱体积

解 $A$ ，所以

V = \int_{0}^{h} A d x = A \cdot h

Note

例2 $R$ $h$ 的圆锥体积

解 $x$ $r(x) = R \cdot \frac{x}{h}$ $A(x) = \pi r^2(x) = \pi R^2 \frac{x^2}{h^2}$

体积：

\begin{aligned} V & = \int_{0}^{h} A (x) d x \\ = \int_{0}^{h} π R^{2} \frac{x^{2}}{h^{2}} d x \\ = \frac{π R^{2}}{h^{2}} \cdot \frac{h^{3}}{3} \\ = \frac{1}{3} π R^{2} h \end{aligned}

Important

$y = f(x)$ $x$ 轴旋转一周形成的旋转体体积：

V = \int_{a}^{b} π [f (x)]^{2} d x

推导 $x$ $x$ $f(x)$ $A(x) = \pi [f(x)]^2$

Note

例3 $y = \sqrt{x}$ $[0,1]$ $x$ 轴旋转形成的体积

解：

\begin{aligned} V & = \int_{0}^{1} π (\sqrt{x})^{2} d x \\ = π \int_{0}^{1} x d x \\ = π \cdot \frac{1}{2} \\ = \frac{π}{2} \end{aligned}

Important

$y = f(x)$ $y$ 轴旋转一周形成的旋转体体积：

V = \int_{a}^{b} 2 π x f (x) d x

推导 $x$ $dx$ $dV = 2\pi x \cdot f(x) \cdot dx$

Note

例4 $y = x$ $[0,1]$ $y$ 轴旋转形成的体积

解：

\begin{aligned} V & = \int_{0}^{1} 2 π x \cdot x d x \\ = 2 π \int_{0}^{1} x^{2} d x \\ = 2 π \cdot \frac{1}{3} = \frac{2 π}{3} \end{aligned}

6.1.3 曲线弧长

Important

直角坐标系下的弧长

$y = f(x)$ $[a,b]$ 上的弧长：

L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f^{'} (x)]^{2}} d x

推导 $ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx$

Note

例5 $y = x^{\frac{3}{2}}$ $x=0$ $x=1$ 的弧长

解 $f'(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$ ，所以

\begin{aligned} L & = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + {(\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x \\ = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \frac{9}{4} x} d x \end{aligned}

$u = 1 + \frac{9}{4}x$ $du = \frac{9}{4}dx$ $x=0$ $u=1$ $x=1$ $u=\frac{13}{4}$

\begin{aligned} L & = \frac{4}{9} \int_{1}^{\frac{13}{4}} \sqrt{u} d u \\ = \frac{4}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} |_{1}^{\frac{13}{4}} \\ = \frac{8}{27} [{(\frac{13}{4})}^{\frac{3}{2}} - 1] \end{aligned}

Important

参数方程下的弧长

$x = x(t), y = y(t)$ $\alpha \leq t \leq \beta$ ) 给出时，弧长为：

L = \int_{α}^{β} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t

Note

例6 $R$ 的圆的周长

解 $x = R\cos t, y = R\sin t$ $0 \leq t \leq 2\pi$ )

$\frac{dx}{dt} = -R\sin t, \frac{dy}{dt} = R\cos t$

\begin{aligned} L & = \int_{0}^{2 π} \sqrt{(- R \sin t)^{2} + (R \cos t)^{2}} d t \\ = \int_{0}^{2 π} R d t \\ = 2 π R \end{aligned}

Important

极坐标下的弧长

$r = r(\theta)$ $\alpha \leq \theta \leq \beta$ ) 给出时，弧长为：

L = \int_{α}^{β} \sqrt{[r (θ)]^{2} + {[\frac{d r}{d θ}]}^{2}} d θ

推导 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ ，代入参数方程的弧长公式可得。

Note

例7 $r = a(1 + \cos\theta)$ $0 \leq \theta \leq 2\pi$ ) 的周长

解 $\frac{dr}{d\theta} = -a\sin\theta$

\begin{aligned} L & = \int_{0}^{2 π} \sqrt{[a (1 + \cos θ)]^{2} + (- a \sin θ)^{2}} d θ \\ = a \int_{0}^{2 π} \sqrt{2 + 2 \cos θ} d θ \end{aligned}

$1 + \cos\theta = 2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$ ，得

\begin{aligned} L & = a \int_{0}^{2 π} 2 | \cos (\frac{θ}{2}) | d θ \\ = 4 a \int_{0}^{π} \cos (\frac{θ}{2}) d θ \\ = 8 a \end{aligned}

6.2 物理中的应用: 功与能量

在物理学中，力沿路径做的功定义为力与位移的乘积。当力是变力时，需要用积分计算。

Warning

有限区域内的变力做功

Note

例1 弹簧压缩做功

解 $F(x) = kx$ $k$ $x$ 为形变量

$L$ 距离做的功：

W = \int_{0}^{L} k x d x = \frac{1}{2} k L^{2}

Note

例2 抽水做功

解 $R$ $H$ $\rho$ 的液体

$dx$ $x$ 的水层抽出需做功：

d W = (ρ π R^{2} d x) \cdot g \cdot (H - x)

总功：

W = \int_{0}^{H} ρ g π R^{2} (H - x) d x = \frac{1}{2} ρ g π R^{2} H^{2}

Warning

无穷区域上的做功问题

Note

例3 万有引力做功

解 $m$ $r$ 处移动到无穷远处，克服地球引力做的功：

$F(x) = \frac{GMm}{x^2}$ $G$ $M$ 为地球质量

功的定义为：

W = \int_{r}^{\infty} \frac{G M m}{x^{2}} d x

通过极限定义：

\begin{aligned} W & = lim_{b \to \infty} \int_{r}^{b} \frac{G M m}{x^{2}} d x \\ = lim_{b \to \infty} G M m {[- \frac{1}{x}]}_{r}^{b} \\ = lim_{b \to \infty} G M m (\frac{1}{r} - \frac{1}{b}) \\ = \frac{G M m}{r} \end{aligned}

这就是引力势能公式，它收敛到一个有限值。

Warning

无界函数的积分

当被积函数在积分区间内无界时，也需要通过极限来定义积分。

Note

例4 计算电场强度

解 $Q$ $r$ 处产生的电势：

V = \int_{r}^{\infty} \frac{Q}{4 π ϵ_{0} x^{2}} d x

$x = 0$ $r > 0$ 开始，所以没有问题。

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ $[0,1]$ 上的积分

$x=0$ 处函数无界，我们通过极限定义：

\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x & = lim_{a \to 0^{+}} \int_{a}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x \\ = lim_{a \to 0^{+}} {[2 \sqrt{x}]}_{a}^{1} \\ = lim_{a \to 0^{+}} (2 - 2 \sqrt{a}) \\ = 2 \end{aligned}

这个积分收敛到有限值 2。

6.3 概率中的应用

Tip

积分学在概率论中扮演着核心角色，特别是在处理连续型随机变量时。本节将介绍如何用积分来描述和分析连续随机现象。掌握积分在概率中的应用，不仅是学习概率论的基础，也是理解现代统计学、金融工程等领域的必备工具。

Important

概率密度函数

对于连续型随机变量，我们不能像离散情况那样谈论某个具体值的概率，而是使用概率密度函数来描述概率分布。

定义 $f(x)$ $a \leq b$ $X$ $[a,b]$ 内的概率为

P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f (x) d x

$f(x)$ $X$ 的概率密度函数。

性质：

$f(x) \geq 0$ $x$ 成立
$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x) dx = 1$

Note

例1 $f(x) = \begin{cases} 2x & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$ 是否为概率密度函数

解 $[0,1]$ $2x \geq 0$ ，满足

检查归一性：

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x & = \int_{0}^{1} 2 x d x \\ = {[x^{2}]}_{0}^{1} \\ = 1 \end{aligned}

$f(x)$ 是一个合法的概率密度函数。

Important

均匀分布

均匀分布描述了一个随机变量在某个区间内等可能取值的现象。

定义 $X$ $[a,b]$ 上有概率密度函数

\begin{matrix} f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{b - a} & a \leq x \leq b \\ 0 & 其他 \end{cases} \end{matrix}

$X$ $X \sim U(a,b)$ 。

Note

例2 公共汽车到站时间问题

解：假设公共汽车每10分钟一班，乘客随机到达车站，求等待时间不超过3分钟的概率。

$X \sim U(0,10)$ $f(x) = \frac{1}{10}$ $0 \leq x \leq 10$

P (0 \leq X \leq 3) = \int_{0}^{3} \frac{1}{10} d x = \frac{3}{10}

Important

指数分布

指数分布常用于描述等待时间、寿命等随机现象。

定义 $X$ 有概率密度函数

\begin{matrix} f (x) = {\begin{cases} λ e^{- λ x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases} \end{matrix}

$\lambda > 0$ $X$ $\lambda$ 的指数分布。

Note

例3 电子元件寿命问题

解 $X$ $\lambda = 0.001$ 的指数分布，求该元件能工作超过1000小时的概率。

P (X > 1000) = \int_{1000}^{\infty} 0.001 e^{- 0.001 x} d x

计算这个反常积分：

\begin{aligned} lim_{b \to \infty} \int_{1000}^{b} 0.001 e^{- 0.001 x} d x & = lim_{b \to \infty} {[- e^{- 0.001 x}]}_{1000}^{b} \\ = e^{- 1} \\ \approx 0.3679 \end{aligned}

Important

正态分布

正态分布（高斯分布）是概率论与统计学中最重要的分布，它描述了自然界中大量随机现象的分布规律。

定义 $X$ 有概率密度函数

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}}

$X$ $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ 。

参数意义：

$\mu$ ：均值，决定分布的中心位置
$\sigma$ ：标准差，决定分布的分散程度

标准正态分布 $\mu = 0$ $\sigma = 1$ 时，称为标准正态分布，其概率密度函数为

φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}}

概率计算 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ $P(a \leq X \leq b) = \displaystyle\int_a^b \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx$

这个积分没有初等函数形式的原函数，谜底留到第二册.

6.4 反常积分

Tip

反常积分处理两类问题：无穷区间上的积分和无界函数的积分。

Important

无穷区间上的反常积分

定义：

$\displaystyle\int_a^\infty f(x) dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) dx$
$\displaystyle\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) dx$
$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^\infty f(x) dx$ $c$ 为任意实数）

收敛判别：如果极限存在且有限，则称反常积分收敛；否则称发散。

Note

例5 $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^p} dx$ 的收敛性

解 $p \neq 1$ 时：

\begin{aligned} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} d x & = lim_{b \to \infty} {[\frac{x^{1 - p}}{1 - p}]}_{1}^{b} \\ = lim_{b \to \infty} \frac{b^{1 - p} - 1}{1 - p} \end{aligned}

$p > 1$ $b^{1-p} \to 0$ $\frac{1}{p-1}$
$p < 1$ $b^{1-p} \to \infty$ ，积分发散

$p = 1$ 时：

\begin{aligned} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x & = lim_{b \to \infty} [\ln x]_{1}^{b} \\ = lim_{b \to \infty} \ln b \\ = \infty \end{aligned}

发散。

Important

无界函数的反常积分（瑕积分）

$f(x)$ $c$ $c$ 为瑕点。

定义：

$f(x)$ $[a,b)$ $\lim_{x \to b^-} f(x) = \infty$ ，则
$\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{t \to b^{-}} \int_{a}^{t} f (x) d x$
$f(x)$ $(a,b]$ $\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty$ ，则
$\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{t \to a^{+}} \int_{t}^{b} f (x) d x$
$c \in (a,b)$ 是瑕点，则
$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$

Note

例6 $\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx$ 的收敛性

解 $p \neq 1$ 时：

\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} d x & = lim_{a \to 0^{+}} {[\frac{x^{1 - p}}{1 - p}]}_{a}^{1} \\ = lim_{a \to 0^{+}} \frac{1 - a^{1 - p}}{1 - p} \end{aligned}

$p < 1$ $a^{1-p} \to 0$ $\frac{1}{1-p}$
$p > 1$ $a^{1-p} \to \infty$ ，积分发散

$p = 1$ 时：

\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x & = lim_{a \to 0^{+}} [\ln x]_{a}^{1} \\ = lim_{a \to 0^{+}} (- \ln a) \\ = \infty \end{aligned}

发散。

第6章 第六章 积分的应用

6.1 几何应用: 求体积与弧长

6.1.1 微元法思想

6.1.2 体积的计算

6.1.3 曲线弧长

6.2 物理中的应用: 功与能量

6.3 概率中的应用

6.4 反常积分

第6章第六章积分的应用