第一回 · 动中取静

我们把所要研究的对象统称为元素（element），这些元素组成的总体叫做集合（set）。一般用大写字母如 \displaystyle A,B,C 表示集合，用小写字母如 \displaystyle x 或 \displaystyle a,b,c 表示元素。

• 如果 \displaystyle x 是集合 \displaystyle A 的元素，就说 \displaystyle x 属于集合 \displaystyle A，记作 \displaystyle x\in A。
• 如果 \displaystyle x 不是集合 \displaystyle A 的元素，就说 \displaystyle x 不属于集合 \displaystyle A，记作 \displaystyle x\notin A。
• 不包含任何元素的集合叫做空集（empty set），记为 \displaystyle\varnothing。

设 \displaystyle A,B 是两个集合。如果一条规则 \displaystyle f 使集合 \displaystyle A 中的每个元素都对应于集合 \displaystyle B 中唯一的一个元素，就称 \displaystyle f 为从 \displaystyle A 到 \displaystyle B 的映射（map），记作 f:A\longrightarrow B.

若映射 \displaystyle f 把元素 \displaystyle a\in A 对应到元素 \displaystyle b\in B，记作 f(a)=b. 此时 \displaystyle b 称为 \displaystyle a 的像，\displaystyle a 称为 \displaystyle b 的一个原像。

映射可以通过下面的示意图来理解：

图中的 \displaystyle X,Y 分别表示输入集合和输出集合，箭头表示元素之间的对应关系。

映射需要满足两个要求：每个输入都有输出，且输出唯一。

• 对 \displaystyle A 中的每个元素，都必须给出 \displaystyle B 中的一个对应元素。
• 不同输入可以对应同一个输出，但同一个输入不能对应多个输出。

在本课程中，从一个数集到另一个数集的映射，称为函数。通常写作 \displaystyle y=f(x)：\displaystyle x 是自变量，允许输入的数构成定义域；\displaystyle f(x) 是输入 \displaystyle x 后得到的唯一函数值。

函数仍然遵守映射的要求：每个允许的输入，都有且只有一个输出。

数列是一类特殊的函数，通常以正整数为自变量，按下标依次取值，记作 \displaystyle a_1,a_2,a_3,\ldots。我们的面积数列以边数为下标，从 \displaystyle 3 开始：

\begin{gathered} A:D\longrightarrow\mathbb R,\qquad D=\{3,4,5,\ldots\},\\ A_n=\frac n2\sin\frac{2\pi}{n}. \end{gathered}

每给定一个允许的边数，就得到唯一的面积。因此，这个数列也是一个函数，只是它的输入只能取 \displaystyle 3,4,5,\ldots，不能取 \displaystyle 3.5。下面再看两个自变量可以取任意实数的函数。

函数 \displaystyle y=f(x) 的图像，就是定义域中所有 \displaystyle x 所对应的点 \displaystyle (x,f(x)) 组成的集合。横坐标放输入，纵坐标放输出，一个点记录一组对应关系。公式把规则写出来，图像则把规则画出来。

设 \displaystyle \{a_n\} 是一个实数数列，\displaystyle A 是实数。如果对任意 \displaystyle \varepsilon>0，都能找到正整数 \displaystyle N，使所有满足 \displaystyle n>N 的项都有

|a_n-A|<\varepsilon,

就称数列的极限为 \displaystyle A，记为 \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=A。

设 \displaystyle A 为实数，函数 \displaystyle f 在 \displaystyle x_0 附近、除 \displaystyle x_0 本身外有定义。如果对任意 \displaystyle \varepsilon>0，都存在 \displaystyle \delta>0，使得

0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-A|<\varepsilon,

就称 \displaystyle f(x) 在 \displaystyle x\to x_0 时的极限为 \displaystyle A，记作 \displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=A。

\displaystyle \delta 控制输入离 \displaystyle x_0 多近，\displaystyle \varepsilon 控制输出离 \displaystyle A 多近。条件中的 \displaystyle 0< 表示我们研究的是靠近这个点的过程，不要求函数在这个点有定义。

设 \displaystyle\{a_n\}、\displaystyle\{b_n\}、\displaystyle\{c_n\} 为实数数列。若存在 \displaystyle N_0>0，使得

a_n\le b_n\le c_n,\qquad \forall n>N_0,

且

\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=A\in\mathbb R,

则 \displaystyle\{b_n\} 收敛，且

\boxed{\lim_{n\to\infty}b_n=A.}

设 \displaystyle f,g,h 在 \displaystyle x_0 的某个去心邻域内都有定义。若存在 \displaystyle\delta_0>0，使得

0<|x-x_0|<\delta_0\quad\Longrightarrow\quad f(x)\le g(x)\le h(x),

且

\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}h(x)=A\in\mathbb R,

则 \displaystyle g 在 \displaystyle x\to x_0 时的极限存在，且

\boxed{\lim_{x\to x_0}g(x)=A.}

按内接正多边形逼近的方式定义圆面积，圆面积就是上述面积数列的极限。因此

\boxed{S=\lim_{n\to\infty}A_n=\pi r^2.}

若每一步都有 \displaystyle a_{n+1}\ge a_n，称数列单调不减；若每一步都有 \displaystyle a_{n+1}>a_n，称严格递增。将不等号分别反向，就得到单调不增与严格递减的定义。

若存在固定实数 \displaystyle B，使所有项都满足 \displaystyle a_n\le B，称数列有上界；将不等号改为 \displaystyle a_n\ge B，就得到有下界的定义。同时有上界与下界的数列，称为有界数列。

单调不减且有上界的实数数列，必有有限极限。 同样，单调不增且有下界的实数数列，也必有有限极限。这就是单调有界定理。

有界不等于知道准确极限。一个上界可以留有余地：为了证明数列有极限，我们可以先找一道容易验证的“围墙”。

将两个展开式对照来看：蓝色部分是对应项，赭色方框是新增项。

\begin{aligned} a_n={}&1+1+{\color{#387b9b}\frac1{2!}\left(1-\frac1n\right)}+\cdots\\ &+{\color{#387b9b}\frac1{n!}\left(1-\frac1n\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)}, \end{aligned}

\begin{aligned} a_{n+1}={}&1+1+{\color{#387b9b}\frac1{2!}\left(1-\frac1{n+1}\right)}+\cdots\\ &+{\color{#387b9b}\frac1{n!}\left(1-\frac1{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n+1}\right)}\\ &+{\color{#b16c27}\boxed{\frac1{(n+1)^{n+1}}}}. \end{aligned}

对任意 \displaystyle2\le k\le n，两个展开式中分母为 \displaystyle k! 的项相互对应。它们的每一个括号都满足

\boxed{0<1-\frac jn<1-\frac j{n+1}},\qquad 1\le j\le k-1.

因此，相同数目的正因子逐一相乘，再除以同一个正数 \displaystyle k!，得到

\begin{aligned} &{\color{#387b9b}\frac1{k!}\left(1-\frac1{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n+1}\right)}\\ &\qquad>{\color{#387b9b}\frac1{k!}\left(1-\frac1n\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)}. \end{aligned}

原有的对应项都增大，前面的 \displaystyle1+1 不变，还多出赭色方框中的正项，故对每个正整数 \displaystyle n，都有

\boxed{a_{n+1}-a_n\ge\frac1{(n+1)^{n+1}}>0.}

所以，复利数列严格递增。

对 \displaystyle n\ge2，展开式中每个括号都在 \displaystyle0 与 \displaystyle1 之间，因此

a_n\le2+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots+\frac1{n!}.

当 \displaystyle k\ge2 时，\displaystyle k!=1\cdot2\cdot3\cdots k\ge2^{k-1}，于是

\begin{aligned} a_n&\le2+\frac12+\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{2^{n-1}}\\ &=3-\frac1{2^{n-1}}<3. \end{aligned}

再结合 \displaystyle a_1=2<3，可知无论结息多少次，本息都小于 \displaystyle3 元。这就找到了整个数列的共同上界。

复利数列严格递增且有上界，由单调有界定理，它必有一个有限极限。我们把这个数记作 \displaystyle e：

\begin{gathered} \boxed{e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n},\\ e\approx2.718281828459\ldots. \end{gathered}

先证明极限存在，再为它命名。提高结息频率可以增加本息，却无法使它无限增长；贪婪的边界，由此确定。