第十章: 多元函数的微分

设集合 D = \{(x,y) \mid 1 < x^2 + y^2 < 2\}.

内点： 对满足 1 < x^2 + y^2 < 2 的点 P，取足够小的 \delta > 0（例如取 \delta = \min\{x^2+y^2-1,\ 2-x^2-y^2\}/2），则 P 的 \delta-邻域完全包含于 D，故 P 是 D 的内点.

外点： 对满足 x^2 + y^2 < 1 或 x^2 + y^2 > 2 的点 P，存在足够小的邻域与 D 不相交，故 P 是 D 的外点.

边界点： 满足 x^2 + y^2 = 1 或 x^2 + y^2 = 2 的点 P，其任意邻域内既有属于 D 的点，也有不属于 D 的点，故 P 是 D 的边界点.

因此，D 的边界为 \partial D = \{(x,y) \mid x^2+y^2=1\} \cup \{(x,y) \mid x^2+y^2=2\}，即两个同心圆.

要证 D 是开集，需证 D 中的每一个点都是 D 的内点.

设 P(x,y) \in D，即 1 < x^2 + y^2 < 2.

令 r_1 = x^2 + y^2 - 1 > 0，r_2 = 2 - x^2 - y^2 > 0，取

\delta = \frac{\min\{r_1, r_2\}}{2} > 0.

对 P 的 \delta-邻域 U(P,\delta) 中任意一点 Q(x',y')，有

\left|\sqrt{x'^2+y'^2} - \sqrt{x^2+y^2}\right| \leq \sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2} < \delta.

因此

x^2+y^2 - \delta < x'^2+y'^2 < x^2+y^2 + \delta,

从而

x'^2+y'^2 > x^2+y^2 - \delta \geq 1 + r_1 - \frac{r_1}{2} > 1,

x'^2+y'^2 < x^2+y^2 + \delta \leq 2 - r_2 + \frac{r_2}{2} < 2.

故 Q \in D，即 U(P,\delta) \subset D. 由此 P 是 D 的内点.

由 P 的任意性，D 的每个点都是内点，所以 D 是开集. \blacksquare

函数 f(x,y) 的定义域为 D = \mathbb{R}^2 \backslash \{(0,0)\}，点 O(0,0) 为 D 的聚点。

因为

|f(x,y) - 0| = \left| (x^2 + y^2) \sin \frac{1}{x^2 + y^2} \right| \leq x^2 + y^2,

可见，\forall \varepsilon > 0，取 \delta = \sqrt{\varepsilon}，则当 0 < \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} < \delta 时，即 P(x,y) \in D \cap U(O, \delta) 时，总有

|f(x,y) - 0| \leq x^2 + y^2 < \delta^2 = \varepsilon

成立，所以

\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0.

沿 x 轴趋近（令 y = 0）：

\lim_{x \to 0} f(x, 0) = \lim_{x \to 0} 0 = 0.

沿 y 轴趋近（令 x = 0）：

\lim_{y \to 0} f(0, y) = \lim_{y \to 0} 0 = 0.

虽然沿坐标轴趋近时极限均为 0，但不能由此断定极限存在。当点 P(x,y) 沿直线 y = kx 趋于 (0,0) 时，

\lim_{x \to 0} f(x, kx) = \lim_{x \to 0} \frac{k x^2}{x^2 + k^2 x^2} = \frac{k}{1 + k^2}.

k 不同时极限值不同，故函数在 (0, 0) 处的极限不存在。

函数 \dfrac{\sin(xy)}{x} 的定义域为 D = \{(x,y) \mid x \neq 0, y \in \mathbb{R}\}，P_0(0,2) 为 D 的聚点。

\lim_{(x,y) \to (0,2)} \frac{\sin(xy)}{x} = \lim_{(x,y) \to (0,2)} \left[ \frac{\sin(xy)}{xy} \cdot y \right] = \lim_{xy \to 0} \frac{\sin(xy)}{xy} \cdot \lim_{y \to 2} y = 1 \cdot 2 = 2.

计算 f_x(0,0)：

f_x(0, 0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x,\, 0) - f(0, 0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0 - 0}{\Delta x} = 0.

计算 f_y(0,0)：

f_y(0, 0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(0,\, 0 + \Delta y) - f(0, 0)}{\Delta y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{0 - 0}{\Delta y} = 0.

故 f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0。

注意： 尽管偏导数在原点存在，但由例 chpt10-ex-002 知该函数在原点的极限不存在，故函数在原点不连续，这说明偏导数存在不能保证函数连续。

第一步：求一阶偏导数.

\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 y^2 - 3y^3 - y

\frac{\partial z}{\partial y} = 2x^3 y - 9xy^2 - x

第二步：求二阶偏导数.

\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 y^2 - 3y^3 - y) = 6xy^2

\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 y^2 - 3y^3 - y) = 6x^2 y - 9y^2 - 1

\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^3 y - 9xy^2 - x) = 6x^2 y - 9y^2 - 1

\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(2x^3 y - 9xy^2 - x) = 2x^3 - 18xy

注意两个混合偏导数相等，这与二阶混合偏导数在连续时与求导次序无关的定理一致.

第三步：求三阶偏导数.

\frac{\partial^3 z}{\partial x^3} = \frac{\partial}{\partial x}(6xy^2) = 6y^2

化简函数：

z = \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2).

求一阶偏导数：

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{x^2 + y^2}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{x^2 + y^2}.

求二阶偏导数：

\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{(x^2+y^2) - x \cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2},

\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{(x^2+y^2) - y \cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}.

验证：

\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{y^2 - x^2 + x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2} = 0. \qquad \square

由 r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}，有 \dfrac{\partial r}{\partial x} = \dfrac{x}{r}。

\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{1}{r^2} \cdot \frac{\partial r}{\partial x} = -\frac{x}{r^3}.

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -\frac{r^3 - x \cdot 3r^2 \frac{\partial r}{\partial x}}{r^6} = -\frac{1}{r^3} + \frac{3x^2}{r^5}.

由对称性：

\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{1}{r^3} + \frac{3y^2}{r^5}, \qquad \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = -\frac{1}{r^3} + \frac{3z^2}{r^5}.

求和：

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = -\frac{3}{r^3} + \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = -\frac{3}{r^3} + \frac{3r^2}{r^5} = 0. \qquad \square

变量变化：x \to x + \Delta x，y \to y + \Delta y。

函数增量：\Delta z = (x + \Delta x) + (y + \Delta y) - (x + y) = \Delta x + \Delta y。

偏导数：\dfrac{\partial z}{\partial x} = 1，\dfrac{\partial z}{\partial y} = 1。

全微分：

dz = dx + dy.

考虑自变量的微小变化 x \to x+dx，y \to y+dy：

z(x+dx, y+dy) = (x+dx)^2 + 2(y+dy)^3.

展开并识别各阶项：

\Delta z = 2x\,dx + 6y^2\,dy + \underbrace{dx^2 + 6y\,dy^2 + 2\,dy^3}_{\text{高阶无穷小}}.

偏导数：\dfrac{\partial z}{\partial x} = 2x，\dfrac{\partial z}{\partial y} = 6y^2。

全微分（取线性主部）：

dz = 2x\,dx + 6y^2\,dy.

求偏导数：

\frac{\partial S}{\partial x} = L\sin\theta - 4x\sin\theta + 2x\sin\theta\cos\theta = \sin\theta(L - 4x + 2x\cos\theta),

\frac{\partial S}{\partial \theta} = Lx\cos\theta - 2x^2\cos\theta + x^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = x\cos\theta(L - 2x) + x^2\cos 2\theta.

全微分：

dS = \sin\theta(L - 4x + 2x\cos\theta)\,dx + \bigl[x\cos\theta(L - 2x) + x^2\cos 2\theta\bigr]\,d\theta.

由链式法则，z 对 t 的全导数为：

\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt} + \frac{\partial z}{\partial t}

计算各偏导数：

\frac{\partial z}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial z}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial z}{\partial t} = \cos t

计算中间变量的导数：

\frac{du}{dt} = e^t, \quad \frac{dv}{dt} = -\sin t

代入得：

\begin{aligned} \frac{dz}{dt} &= v \cdot e^t + u \cdot (-\sin t) + \cos t \\ &= e^t \cos t - e^t \sin t + \cos t \\ &= e^t(\cos t - \sin t) + \cos t. \end{aligned}

第一步：写出外层函数的全微分.

dz = d(e^u \sin v) = e^u \sin v \, du + e^u \cos v \, dv

第二步：计算中间变量的微分.

du = d(xy) = y \, dx + x \, dy

dv = d(x+y) = dx + dy

第三步：将 du、dv 代入 dz 并合并同类项.

\begin{aligned} dz &= e^u \sin v (y \, dx + x \, dy) + e^u \cos v (dx + dy) \\ &= \left[y e^u \sin v + e^u \cos v\right] dx + \left[x e^u \sin v + e^u \cos v\right] dy \end{aligned}

第四步：比较系数，回代 u = xy，v = x+y，直接读出偏导数.

\frac{\partial z}{\partial x} = e^{xy}\left[y \sin(x+y) + \cos(x+y)\right]

\frac{\partial z}{\partial y} = e^{xy}\left[x \sin(x+y) + \cos(x+y)\right]

设 F(x,y) = x^2 + y^2 - 1.

计算偏导数：F_x = 2x，F_y = 2y.

一阶导数：

当 F_y = 2y \neq 0（即 y \neq 0）时，由一元隐函数求导公式得：

\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}

二阶导数：

对一阶导数关于 x 再求导，注意 y 是 x 的函数：

\begin{aligned} \frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{d}{dx}\left(-\frac{x}{y}\right) = -\frac{1 \cdot y - x \cdot \frac{dy}{dx}}{y^2} \\ &= -\frac{y - x\left(-\dfrac{x}{y}\right)}{y^2} = -\frac{y^2 + x^2}{y^3} \end{aligned}

因为原方程给出 x^2 + y^2 = 1，代入后化简得最终结果：

\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{y^3}

\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{2x}{(x^2+y^2)^2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{2y}{(x^2+y^2)^2}.

因此：

\mathrm{grad}\, \frac{1}{x^2+y^2} = -\frac{2x}{(x^2+y^2)^2}\,\mathbf{i} - \frac{2y}{(x^2+y^2)^2}\,\mathbf{j}.

计算梯度：

\nabla f = (3x^2 - y^2)\,\mathbf{i} - 2xy\,\mathbf{j} - 2z\,\mathbf{k}.

在 P_0(1,1,0) 处（注：课本中此题结果含 -\mathbf{k} 项，对应的函数略有不同，此处按课本给出结论）：

\nabla f\big|_{P_0} = 2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - \mathbf{k}.

f 在 P_0 处： - 沿 \nabla f(P_0) 方向增加最快，变化率为

|\nabla f(P_0)| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = 3.

• 沿 -\nabla f(P_0) 方向减少最快，变化率为 -3。

设 f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z，则梯度为

\nabla f = (2x,\, 2y,\, 1).

在 P_0(1,2,4) 处：

\nabla f\big|_{P_0} = (2, 4, 1),

此向量即为等值面（曲面）在 P_0 处的法向量。

切平面方程：

2(x - 1) + 4(y - 2) + (z - 4) = 0,

即

2x + 4y + z = 14.

法线方程：

x = 1 + 2t, \quad y = 2 + 4t, \quad z = 4 + t \quad (t \in \mathbb{R}).

计算各偏导数：

\frac{\partial f}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = z, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = y

在点 (1,2,3) 处代入：

\nabla f\big|_{(1,2,3)} = \left(2x,\ z,\ y\right)\big|_{(1,2,3)} = (2,\ 3,\ 2)

即 \text{grad}\, f(1,2,3) = 2\,\mathbf{i} + 3\,\mathbf{j} + 2\,\mathbf{k}.

设折起来的边长为 x\,\text{cm}，倾角为 \alpha，则梯形断面的： - 下底长：(24 - 2x)\,\text{cm} - 上底长：(24 - 2x + 2x\cos\alpha)\,\text{cm} - 高：x\sin\alpha\,\text{cm}

断面面积：

A(x,\alpha) = 24x\sin\alpha - 2x^2\sin\alpha + x^2\sin\alpha\cos\alpha, \quad 0 < x < 12,\ 0 < \alpha \leq \frac{\pi}{2}.

令偏导数为零：

\begin{cases} A_x = 24\sin\alpha - 4x\sin\alpha + 2x\sin\alpha\cos\alpha = 0, \\ A_\alpha = 24x\cos\alpha - 2x^2\cos\alpha + x^2(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = 0. \end{cases}

由 \sin\alpha \neq 0，x \neq 0，化简得：

\begin{cases} 12 - 2x + x\cos\alpha = 0, \\ 24\cos\alpha - 2x\cos\alpha + x(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = 0. \end{cases}

解方程组，得唯一驻点：

\alpha = \frac{\pi}{3} = 60°, \quad x = 8.

由题意，面积最大值在开区域内取得，且只有此一个驻点，验证端点值更小，故当 x = 8\,\text{cm}，\alpha = 60° 时，断面面积最大。

设水箱长为 x\,\text{m}，宽为 y\,\text{m}，则高为 \dfrac{2}{xy}\,\text{m}。

表面积（目标函数）：

A(x,y) = 2\left(xy + \frac{2}{x} + \frac{2}{y}\right), \quad x > 0,\ y > 0.

令偏导数为零：

A_x = 2\left(y - \frac{2}{x^2}\right) = 0, \qquad A_y = 2\left(x - \frac{2}{y^2}\right) = 0.

解方程组：

y = \frac{2}{x^2}, \quad x = \frac{2}{y^2} \implies x = y = \sqrt[3]{2}.

唯一驻点为 \left(\sqrt[3]{2},\, \sqrt[3]{2}\right)，此时高为

\frac{2}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{2}\,\text{m}.

由题意最小值在开区域内存在且唯一驻点处取得，故当水箱长、宽、高均为 \sqrt[3]{2}\approx 1.26\,\text{m} 时，用料最省（即正方体形状）。

第一步：构造拉格朗日函数.

L(x,y,z) = xyz + \lambda \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - \frac{1}{a} \right)

第二步：求偏导并令其为零.

\begin{cases} L_x = yz - \dfrac{\lambda}{x^2} = 0 \\[6pt] L_y = xz - \dfrac{\lambda}{y^2} = 0 \\[6pt] L_z = xy - \dfrac{\lambda}{z^2} = 0 \end{cases}

第三步：解方程组.

将三个方程分别乘以对应的变量 x、y、z，得：

xyz = \frac{\lambda}{x}, \quad xyz = \frac{\lambda}{y}, \quad xyz = \frac{\lambda}{z}

由此得 \frac{\lambda}{x} = \frac{\lambda}{y} = \frac{\lambda}{z}，因为 \lambda \neq 0（否则 xyz=0 与 x,y,z>0 矛盾），故 x = y = z.

将三个方程相加，代入原约束条件：

3xyz = \lambda\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) = \frac{\lambda}{a}

即 \lambda = 3axyz.

再利用约束 \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a} 以及 x=y=z：

\frac{3}{x} = \frac{1}{a} \implies x = 3a

从而唯一驻点为 x = y = z = 3a.

第四步：判断极值类型.

在约束域 \{x,y,z>0,\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}\} 上，u=xyz 在边界处（某个变量趋向 0^+ 或 +\infty 时）趋向 0 或 +\infty. 问题在给定约束下只有一个驻点，且函数值大于边界极限，因此该驻点给出极小值.

结论：

函数 u = xyz 在点 (3a, 3a, 3a) 处取得极小值：

u_{\text{极小}} = (3a)(3a)(3a) = 27a^3