无穷多个数的和称为 无穷级数 (Infinite Series)，简称 级数。 给定数列 a_n, n = 1, 2, \cdots, \infty，其前 n 项和 S_n= \displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_i 称为该级数的 部分和 (Partial sum)。 如果 \displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} S_n = S 存在（即极限为一个有限常数），则称级数 收敛 (Convergent)，并称 S 为级数的和；否则称级数 发散 (Divergent)。

1. 几何级数 (等比级数) \displaystyle S_n = \sum_{i=1}^{n} a q^{i-1} \quad (a \neq 0) * 当 |q| < 1 时，级数收敛，和为 \displaystyle\frac{a}{1-q}； * 当 |q| \ge 1 时，级数发散。

2. 调和级数 (发散的经典例子) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots 虽然通项 \frac{1}{n} \to 0，但该级数是 发散 的。

3. 裂项相消级数 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} 计算其部分和： \begin{aligned} S_n &= \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)} \\ &= \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\ &= 1-\frac{1}{n+1} \end{aligned} 显然 \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = 1，故该级数 收敛。

性质1：若 \sum u_n = s，则 \sum k u_n = k s（k 为常数）。 性质2：若 \sum u_n = s, \sum v_n = \sigma，则 \sum(u_n \pm v_n) = s \pm \sigma。 性质3：在级数中去掉、增加或改变有限项，不会改变级数的收敛性。 性质4 (必要条件)：如果级数 \sum u_n 收敛，那么必然有 \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} u_n = 0。

正项级数 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n 收敛的充分必要条件是：其部分和数列 S_n 有界。 (注: 本质上这个定理就是上册学过的“单调有界必有极限”)

设 \sum u_n 和 \sum v_n 都是正项级数，且对所有 n 有 u_n \leqslant v_n： * 如果“大级数” \sum v_n 收敛 \Rightarrow “小级数” \sum u_n 必收敛。 * 如果“小级数” \sum u_n 发散 \Rightarrow “大级数” \sum v_n 必发散。

设 \sum u_n 与 \sum v_n 为正项级数，若 \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{u_n}{v_n} = l \ (0 < l < \infty)，则这两个级数 同收敛或同发散。

设 \sum u_n 为正项级数，若 \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho，则： * 当 \rho < 1 时，级数 收敛； * 当 \rho > 1 或 \rho = \infty 时，级数 发散； * 当 \rho = 1 时，方法失效（不确定，需用其他方法）。

对于交错级数 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_n \ (u_n > 0)，若满足： 1. u_n \geqslant u_{n+1} （各项的绝对值单调递减） 2. \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} u_n = 0 则该交错级数 收敛。

对于包含正负项的任意级数 \sum u_n： * 绝对收敛：如果加上绝对值后的正项级数 \sum |u_n| 收敛，则原级数必然收敛，且称为绝对收敛。 * 条件收敛：如果原级数 \sum u_n 收敛，但加了绝对值后的级数 \sum |u_n| 发散，则称原级数为条件收敛（如交错调和级数）。

\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots 其中，常数 a_0, a_1, \cdots 称为幂级数的系数。

如果幂级数 \sum a_n x^n 在 x=x_0 \ (x_0 \neq 0) 处收敛，那么对于所有满足 |x| < |x_0| 的 x，幂级数必绝对收敛。 反之，如果在 x=x_1 处发散，则对于所有满足 |x| > |x_1| 的 x，幂级数必发散。

这些公式在数值计算和计算机算法中极其基础： 1. 指数函数：\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots \quad (x \in \mathbb{R}) 2. 正弦函数：\displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad (x \in \mathbb{R}) 3. 余弦函数：\displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \quad (x \in \mathbb{R}) 4. 几何级数：\displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n \quad (-1 < x < 1) 5. 对数函数：\displaystyle \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} \quad (-1 < x \leq 1)

设 f(x) 是以 2\pi 为周期的周期函数，它可以被展开为如下的 三角级数： f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right) 其中，常数项和三角函数的系数（称为傅里叶系数）通过积分计算得出： * a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx （代表信号的直流/平均分量） * a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx * b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx

注：上述公式的基础在于三角函数族 \{1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \cdots \} 在区间 [-\pi, \pi] 上构成了正交基（即任意两个不同基函数的乘积积分为0）。

被誉为数学中最美的公式，它将复数、指数与三角函数完美统一： e^{ix} = \cos x + i \sin x > 推论：当 x=\pi 时，得到 e^{i\pi} + 1 = 0，这个等式将数学中最重要的五个常数 0, 1, i, \pi, e 融为一体。

利用欧拉公式，我们可以反向表示正弦和余弦： \cos(nx) = \frac{e^{inx} + e^{-inx}}{2}, \quad \sin(nx) = \frac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i}

将这两个式子代入传统的傅里叶级数中，经过简单的代数合并整理，原本分为三项（常数项、a_n项、b_n项）的冗长公式，可以被压缩成一个极其优雅的复数形式！

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx} 此时，统一的傅里叶系数 c_n 为： c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx

在这里，n 包含了负整数、0 和正整数，它代表了信号中离散的频率成分。c_n 是一个复数，它的模代表了该频率成分的振幅（能量大小），它的幅角代表了该频率成分的相位。