第十三章: 无穷级数

给定数列 \{a_n\}_{n=1}^{\infty}, 称形式上的”和” \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 为无穷级数. 其前 n 项和 S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i 称为级数的部分和 (Partial sum). 若 \displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n = S 存在 (是有限常数), 则称级数收敛 (Convergent), S 是它的和; 否则称发散 (Divergent).

三个最常用作参照标准的级数:

(1) 几何级数 (等比级数): \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a q^{n-1} (a \ne 0). 部分和 S_n = a \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q} (q \ne 1). 因此 - |q| < 1: 收敛, 和 = \dfrac{a}{1-q}; - |q| \ge 1: 发散.

(2) 调和级数: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots 通项 \frac{1}{n} \to 0, 但级数发散 —— 这是”通项趋零 ⇎ 收敛”最重要的反例.

(3) 裂项相消级数: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}. S_n = \sum_{k=1}^{n}\!\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} \xrightarrow{n\to\infty} 1. 收敛, 和 = 1.

上图把上述三个级数 (再加交错调和) 的部分和 S_n 画作 n 的函数. 点击不同按钮切换级数; 拖动滑块, 黑点标记当前 S_N, 灰色虚线给出极限值 (若存在). 几何级数 (蓝) 几步就锁定到 \frac{a}{1-q}; 调和级数 (橙) 缓慢但坚定地往无穷里爬; 裂项相消 (绿) 收敛得最快; 交错调和 (红) 围绕 \ln 2 振荡, 越来越窄.

设 \sum u_n = s, \sum v_n = \sigma 都收敛.

1. 数乘: \sum k u_n = k s (k 为常数).
2. 线性组合: \sum (u_n \pm v_n) = s \pm \sigma.
3. 去掉、增加或改变有限项, 不改变级数的收敛性 (但和会改变).
4. 通项必要条件: \sum u_n 收敛 \Rightarrow \displaystyle\lim_{n\to\infty} u_n = 0.

正项级数 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n 收敛 \iff 部分和数列 \{S_n\} 有界.

设 \sum u_n, \sum v_n 都是正项级数, 且自某项起 u_n \le v_n:

• 若”大级数” \sum v_n 收敛, 则”小级数” \sum u_n 收敛;
• 若”小级数” \sum u_n 发散, 则”大级数” \sum v_n 发散.

设 \sum u_n, \sum v_n 是正项级数. 若 \lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{v_n} = l \in (0, +\infty), 则两级数同收敛或同发散.

设 \sum u_n 是正项级数. 若 \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho, 则:

• \rho < 1: 收敛;
• \rho > 1 (或 \rho = +\infty): 发散;
• \rho = 1: 本法失效, 需借助其他方法.

这是判定指数衰减/增长形级数最有力的工具.

对交错级数 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n (u_n > 0), 若同时满足:

1. u_n \ge u_{n+1} (各项绝对值单调递减);
2. \displaystyle\lim_{n\to\infty} u_n = 0;

则级数收敛. 进一步有部分和误差估计 |S - S_n| \le u_{n+1} —— 误差不超过被截断的下一项.

对一般 (含正负项) 级数 \sum u_n:

• 若 \sum |u_n| 收敛, 称 \sum u_n 绝对收敛. 绝对收敛的级数必收敛, 且其重排不改变级数的和.
• 若 \sum u_n 收敛但 \sum |u_n| 发散, 称 \sum u_n 条件收敛. 经典例子: 交错调和级数 \sum (-1)^{n-1}/n 收敛 (莱布尼茨), 但加绝对值后是调和级数, 发散.

形如 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots 的级数称为 (中心在原点的) 幂级数, 系数 \{a_n\} 是给定常数. 一般地, 中心在 x_0 处的幂级数写作 \displaystyle\sum a_n (x - x_0)^n.

若幂级数 \sum a_n x^n 在 x = x_0 \ne 0 处收敛, 则对所有满足 |x| < |x_0| 的 x, 它绝对收敛; 反之, 若在 x = x_1 处发散, 则对所有 |x| > |x_1| 的 x, 它发散.

推论: 幂级数的收敛域必是一个以原点为中心的对称区间.

Abel 定理保证存在唯一的 R \in [0, +\infty], 使得

• |x| < R 时幂级数绝对收敛;
• |x| > R 时发散;
• |x| = R (端点 x = \pm R) 时收敛性需单独判定.

这个 R 称为收敛半径. 收敛域是 (-R, R) 加上端点收敛性后的具体集合.

收敛半径的求法 (比值法): 若 \displaystyle \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \rho, 则 R = \frac{1}{\rho} \quad (\rho = 0 \Rightarrow R = +\infty;\ \rho = +\infty \Rightarrow R = 0).

这五个展开是数值计算与计算机算法中最常用的:

1. \displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots \quad (x \in \mathbb{R})
2. \displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad (x \in \mathbb{R})
3. \displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \quad (x \in \mathbb{R})
4. \displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \quad (-1 < x < 1)
5. \displaystyle \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} \quad (-1 < x \le 1)

上图直观展示了泰勒部分和 T_N(x) = \sum_{k=0}^{N} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^k (红线) 如何逐步逼近目标函数 (蓝线). 点击按钮切换 f, 拖动滑块改变阶数 N. 几个值得注意的现象: sin/cos/exp 在整条实轴上越走越准, N 一旦大到把 |x| 包住, 红蓝线几乎重合; 而 ln(1+x) 与 1/(1−x) 的级数有有限的收敛半径 (R = 1), 出了边界 (例如 |x| > 1) 红线立刻飞向无穷. 这正是 §13.3 强调”收敛半径”概念的关键原因.

设 f(x) 以 2\pi 为周期 (在适当条件下), 则它可展开为三角级数: f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl[a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\bigr].

傅里叶系数通过下列积分给出: a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\, dx, \quad a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx)\, dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx)\, dx.

a_0/2 是信号的”直流分量” (平均值); a_n, b_n 描述各频率成分的振幅与相位.

上图展示傅里叶部分和 F_N(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) (红) 逼近周期目标 (蓝) 的过程. 切换方波, 锯齿波, 三角波三种典型信号, 拖动滑块增加 N:

• 三角波最”光滑”, 收敛速度最快 (系数衰减 \sim 1/n^2).
• 锯齿波与方波都有跳跃, 在跳跃点处即使 N 取得很大也总有 \sim 9\% 的”过冲” —— 这就是著名的 Gibbs 现象, 它是傅里叶级数处理不连续信号的固有特征, 反映了”逐点收敛”与”一致收敛”的差异.

e^{ix} = \cos x + i \sin x.

推论: 当 x = \pi 时得到数学上最优雅的恒等式 e^{i\pi} + 1 = 0, 它把数学中最重要的五个常数 0, 1, i, \pi, e 融为一体.

反解出三角函数: \cos(nx) = \frac{e^{inx} + e^{-inx}}{2}, \qquad \sin(nx) = \frac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i}.

把欧拉公式代入实数形式并合并整理, 三项 (常数项、a_n 项、b_n 项) 被压缩成一个统一公式: f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\, e^{inx}, \qquad c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\, e^{-inx}\, dx.

这里 n 取遍正负整数与零, 代表信号离散的频率成分; |c_n| 是该频率成分的振幅, \arg c_n 是其相位.