在第七章中，我们学习了常微分方程（ODE），它描述的是只依赖于一个自变量（如时间 t）的未知函数的变化规律。然而，现实世界要复杂得多：房间里的温度不仅随时间变化，还在空间的不同位置有所不同；水波的传播、电磁场的振荡、甚至是现代 AI 中的“扩散模型（Diffusion Models）”，都依赖于多个自变量（如时间 t 和空间坐标 x, y, z）。

包含未知多元函数及其偏导数的方程，被称为偏微分方程 (Partial Differential Equation, PDE)。本章我们将以最著名的偏微分方程——拉普拉斯方程为例，探索它的物理背景、解析求法以及数值解法。

想象一下，如果房间的墙壁一直保持恒定的温度分布，经过足够长的时间后，房间内的温度分布会趋于一个稳定状态（稳态）。 既然是稳态，意味着温度不再随时间变化，即 \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = 0。此时，热传导方程就退化为了一个纯空间的偏微分方程： \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 这个极其优美的方程就是著名的拉普拉斯方程 (Laplace’s Equation)。满足拉普拉斯方程的函数被称为调和函数 (Harmonic functions)。

实例： 我们可以验证某些特殊函数是拉普拉斯方程的解： 1. 二维空间中的对数函数 z = \ln\sqrt{x^2 + y^2} 满足 \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0。 2. 三维空间中的引力势/静电势函数 \displaystyle u = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} 满足 \Delta u = 0。

求解偏微分方程比常微分方程难得多。数学家们发明了许多精妙的技巧，其中最核心的思想就是“降维”——将多元偏微分方程转化为一元常微分方程。这里我们介绍两种经典方法：分离变量法与傅里叶变换法。

由 r=\sqrt{x^2+y^2}, \qquad \theta = \arctan\frac{y}{x}, 可得 \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{x}{r} = \cos\theta, \qquad \frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{y}{r} = \sin\theta. 对 \theta = \arctan(y/x) 使用链式法则： \frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{1}{1+(y/x)^2}\left(-\frac{y}{x^2}\right) = -\frac{y}{x^2+y^2} = -\frac{\sin\theta}{r}, \frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{1}{1+(y/x)^2}\frac{1}{x} = \frac{x}{x^2+y^2} = \frac{\cos\theta}{r}. 因此， r_x = \cos\theta,\qquad r_y=\sin\theta,\qquad \theta_x = -\frac{\sin\theta}{r},\qquad \theta_y = \frac{\cos\theta}{r}.

由多元复合函数求导法则， u_x = u_r r_x + u_\theta \theta_x, \qquad u_y = u_r r_y + u_\theta \theta_y. 代入上一步结果，得到 u_x = u_r\cos\theta - \frac{1}{r}u_\theta \sin\theta, u_y = u_r\sin\theta + \frac{1}{r}u_\theta \cos\theta. 因而微分算子本身也可以写为 \frac{\partial}{\partial x} = \cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}, \qquad \frac{\partial}{\partial y} = \sin\theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}.

先看 u_{xx}： u_{xx} = \left( \cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \right) \left( u_r\cos\theta - \frac{1}{r}u_\theta \sin\theta \right). 展开时分两部分处理。

第一部分： \cos\theta \frac{\partial}{\partial r} \left( u_r\cos\theta - \frac{1}{r}u_\theta \sin\theta \right) = \cos^2\theta\,u_{rr} - \frac{\sin\theta\cos\theta}{r}u_{r\theta} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{r^2}u_\theta. 第二部分： -\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \left( u_r\cos\theta - \frac{1}{r}u_\theta \sin\theta \right) = \frac{\sin^2\theta}{r}u_r - \frac{\sin\theta\cos\theta}{r}u_{r\theta} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{r^2}u_\theta + \frac{\sin^2\theta}{r^2}u_{\theta\theta}. 相加得到 u_{xx} = \cos^2\theta\,u_{rr} + \frac{\sin^2\theta}{r}u_r + \frac{\sin^2\theta}{r^2}u_{\theta\theta} - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r}u_{r\theta} + \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2}u_\theta.

同理， u_{yy} = \left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \right) \left( u_r\sin\theta + \frac{1}{r}u_\theta \cos\theta \right), 展开后可得 u_{yy} = \sin^2\theta\,u_{rr} + \frac{\cos^2\theta}{r}u_r + \frac{\cos^2\theta}{r^2}u_{\theta\theta} + \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r}u_{r\theta} - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2}u_\theta.

现在把 u_{xx} 与 u_{yy} 相加： \Delta u = u_{xx}+u_{yy}. 注意到其中的混合项和一阶角向项恰好抵消： - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r}u_{r\theta} + \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r}u_{r\theta}=0, \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2}u_\theta - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2}u_\theta=0. 再利用恒等式 \sin^2\theta+\cos^2\theta=1，便得到 \Delta u = (\cos^2\theta+\sin^2\theta)u_{rr} + \frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{r}u_r + \frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{r^2}u_{\theta\theta}, 即 \boxed{ \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} }. 这就是二维 Laplace 算子在极坐标下的标准形式。

遗憾的是，在实际工程（如复杂形状的发动机散热、流体力学）中，由于边界条件极其复杂，偏微分方程几乎不可能求出解析解。这时，我们就必须借助计算机，使用数值方法求近似解。