函数 f(x) = |x| 在 (-\infty, +\infty) 上处处连续。

• 当 x_0 > 0 时，在 x_0 的某邻域内 f(x) = x，故 \lim_{x\to x_0}|x| = x_0 = f(x_0)，连续。
• 当 x_0 < 0 时，在 x_0 的某邻域内 f(x) = -x，故 \lim_{x\to x_0}|x| = -x_0 = f(x_0)，连续。
• 当 x_0 = 0 时，左极限 \lim_{x\to 0^-}|x| = \lim_{x\to 0^-}(-x) = 0，右极限 \lim_{x\to 0^+}|x| = \lim_{x\to 0^+}x = 0，且 f(0)=0，故连续。

因此 f(x) = |x| 在 (-\infty, +\infty) 上连续。

f(x) = \dfrac{1}{|x|} 在 x = 0 处无定义，因此 x=0 是间断点。

• 当 x_0 \neq 0 时，|x| 在 x_0 附近连续且非零，故 f(x) = \dfrac{1}{|x|} 在所有 x_0 \neq 0 处连续。
• 当 x \to 0 时，|x| \to 0^+，故 \dfrac{1}{|x|} \to +\infty，极限不存在（趋于无穷大）。

因此，f(x) 在 (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) 上连续，在 x = 0 处不连续（第二类间断点，无穷间断点）。

f(x) = \dfrac{\sin x}{x} 在 x=0 处无定义，故 x=0 是间断点。

由重要极限：

\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1.

由于极限存在但函数在该点无定义，x=0 是可去间断点。

只要令 f(0) = 1，即补充定义

\tilde{f}(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x = 0, \end{cases}

则 \tilde{f}(x) 在 (-\infty, +\infty) 上处处连续。

f(x) = \sin\dfrac{1}{x} 在 x=0 处无定义，故 x=0 是间断点。

当 x \to 0 时，\dfrac{1}{x} \to \infty，\sin\dfrac{1}{x} 在 -1 和 1 之间无限振荡，极限不存在。

例如，取 x_n = \dfrac{1}{n\pi}，则 \sin\dfrac{1}{x_n} = \sin(n\pi) = 0；取 x_n = \dfrac{2}{(4n+1)\pi}，则 \sin\dfrac{1}{x_n} = 1。

因此 x=0 是振荡间断点（第二类间断点），无法通过补充定义一个点值使 f(x) 在 x=0 处连续。

f(x) = \dfrac{1}{x} 在 x=0 处无定义，因此 f(x) 在闭区间 [-1,1] 上不连续（甚至无法在全区间上取值）。

由于 f(x) 不满足维尔斯特拉斯极值定理的条件（函数须在闭区间上处处连续），定理不适用。

实际上，当 x \to 0 时，|f(x)| = \dfrac{1}{|x|} \to +\infty，函数在 [-1,1] 上无界，既无最大值也无最小值，这正是定理不成立的反例。

\mathrm{sgn}(x) 在 x=0 处不连续：

\lim_{x \to 0^-} \mathrm{sgn}(x) = -1, \qquad \lim_{x \to 0^+} \mathrm{sgn}(x) = 1.

左右极限不相等，故极限不存在，x=0 是跳跃间断点（第一类间断点）。

由于 \mathrm{sgn}(x) 在 [-1,1] 上不连续，维尔斯特拉斯极值定理的条件不满足，定理不适用。

注意：尽管如此，\mathrm{sgn}(x) 在 [-1,1] 上实际上是有界的（值域为 \{-1, 0, 1\}），且最大值和最小值均存在，这说明定理的条件是充分条件而非必要条件。

令 f(x) = x^3 - 4x^2 + 1。

f(x) 是多项式，在闭区间 [0, 1] 上连续。

计算端点处的值：

f(0) = 0 - 0 + 1 = 1 > 0,

f(1) = 1 - 4 + 1 = -2 < 0.

由于 f(0) > 0，f(1) < 0，f 在 [0,1] 上连续，根据介值定理（布尔查诺定理），在区间 (0, 1) 内存在 c 使得 f(c) = 0。

此即方程 x^3 - 4x^2 + 1 = 0 在区间 (0, 1) 内的一个根。

根据导数的定义：

\begin{align*} f'(1) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{C - C}{\Delta x} = 0. \end{align*}

根据导数的定义：

\begin{align*} f'(2) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(2 + \Delta x)^2 - 2^2}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{4 + 4\Delta x + (\Delta x)^2 - 4}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} (4 + \Delta x) = 4. \end{align*}

\begin{align*} f'(x) &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{(x+\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{2x\Delta x + \Delta x^2}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to 0} (2x + \Delta x) = 2x. \end{align*}

\begin{align*} f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2 \sin\left( x + \frac{\Delta x}{2} \right) \sin\left( \frac{\Delta x}{2} \right)}{\Delta x} \\ &= - \lim_{\Delta x \to 0} \sin\left( x + \frac{\Delta x}{2} \right) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}} \\ &= -\sin x. \end{align*}

当 m = 1 时：

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1.

当 m > 1 时，利用二项式定理：

\begin{align*} f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^m - x^m}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{x^m + m x^{m-1} \Delta x + \frac{m(m-1)}{2} x^{m-2} (\Delta x)^2 + \cdots + (\Delta x)^m - x^m}{\Delta x} \right]\\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \left[ m x^{m-1} + \frac{m(m-1)}{2} x^{m-2} \Delta x + \cdots + (\Delta x)^{m-1} \right] \\ &= m x^{m-1}. \end{align*}

考虑到 x^0 = 1，两种情况统一为：

(x^m)' = m x^{m-1}, \quad m = 1, 2, \cdots

\begin{align*} y' &= (3x^3)' - (4x^2)' + (5x)' - (9)' \\ &= 3 \cdot 3x^{3-1} - 4 \cdot 2x^{2-1} + 5 \cdot 1x^{1-1} - 0\\ &= 9x^2 - 8x + 5. \end{align*}

\begin{align*} y' &= (2e^{x})'(\sin x + 2\cos x) + 2e^{x}(\sin x + 2\cos x)' \\ &= 2e^{x}(\sin x + 2\cos x) + 2e^{x}(\cos x - 2\sin x) \\ &= 2e^{x}\sin x + 4e^{x}\cos x + 2e^{x}\cos x - 4e^{x}\sin x \\ &= 6e^{x}\cos x - 2e^{x}\sin x \\ &= 2e^{x}(3\cos x - \sin x). \end{align*}

\begin{align*} f'(x) &= (x^3)' + (3\sin x)' + \left( \frac{5}{2} \right)' \\ &= 3x^2 + 3\cos x. \end{align*}

代入 x = \dfrac{\pi}{4}：

f'\!\left( \frac{\pi}{4} \right) = 3\left(\frac{\pi}{4}\right)^2 + 3\cos\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi^2}{16} + \frac{3\sqrt{2}}{2}.

\begin{align*} y' &= \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)' \\ &= \frac{(\sin x)' \cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos^2 x} \\ &= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}. \end{align*}

一阶导数：

y' = 2ax + b.

二阶导数：

y'' = 2a.

逐次求导：

\begin{align*} y' &= a x^{a-1},\\ y'' &= a (a - 1) x^{a-2},\\ y''' &= a (a - 1)(a - 2) x^{a-3}. \end{align*}

一般的：

y^{(n)} = a (a - 1)(a - 2) \cdots (a - n + 1) x^{a-n}.

特别地，当 a = n 为正整数时：

(x^n)^{(m)} = \begin{cases} C_n^m \, m! \, x^{n-m}, & m \le n, \\ 0, & m > n. \end{cases}

函数在 [0, 2\pi] 上连续，在 (0, 2\pi) 内可导。求导得：

y' = 1 - \sin x \ge 0.

故函数 y = x + \cos x 在 [0, 2\pi] 上单调递增。

对函数求导得：

y' = e^x - 1.

• 当 x < 0 时，y' < 0，故函数在 (-\infty, 0] 上单调递减；
• 当 x \ge 0 时，y' \ge 0，故函数在 [0, +\infty) 上单调递增。

令一阶导数等于零：

f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2) = 0.

临界点为：

x_1 = 0, \quad x_2 = \sqrt{2}, \quad x_3 = -\sqrt{2}.

二阶导数为：

f''(x) = 12x^2 - 8.

计算各临界点处的二阶导数：

• x_1 = 0：f''(0) = -8 < 0，为极大值，f(0) = 0；
• x_2 = \sqrt{2}：f''(\sqrt{2}) = 16 > 0，为极小值，f(\sqrt{2}) = -4；
• x_3 = -\sqrt{2}：f''(-\sqrt{2}) = 16 > 0，为极小值，f(-\sqrt{2}) = -4。

路径总长度 S(x) 为：

S(x) = \sqrt{h_1^2 + x^2} + \sqrt{h_2^2 + (l - x)^2}.

对 S(x) 求导：

S'(x) = \frac{x}{\sqrt{h_1^2 + x^2}} - \frac{l - x}{\sqrt{h_2^2 + (l - x)^2}}.

令 S'(x) = 0，得：

\frac{x}{\sqrt{h_1^2 + x^2}} = \frac{l - x}{\sqrt{h_2^2 + (l - x)^2}}.

解得：

x = \frac{l h_1}{h_1 + h_2}.

将点 B 关于 x 轴（河边）反射到点 B'，坐标为 (l, -h_2)。

连接点 A(0, h_1) 和点 B'(l, -h_2)，与 x 轴的交点即为饮水点 P。根据三角形相似，同样可得：

x = \frac{l h_1}{h_1 + h_2}.

这个方法利用了镜面反射原理，基于直线最短得到了快速直观的解法。

总时间为：

T(x) = \frac{\sqrt{h_1^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{h_2^2 + (l - x)^2}}{v_2}.

对 T(x) 求导得：

\begin{align*} T'(x) &= \frac{1}{v_1} \cdot \frac{x}{\sqrt{h_1^2 + x^2}} - \frac{1}{v_2} \cdot \frac{l - x}{\sqrt{h_2^2 + (l - x)^2}}. \end{align*}

令 T'(x) = 0，得：

\frac{1}{v_1} \cdot \frac{x}{\sqrt{h_1^2 + x^2}} = \frac{1}{v_2} \cdot \frac{l - x}{\sqrt{h_2^2 + (l - x)^2}}.

设 \theta_1 为 AP 与竖直方向的夹角，\theta_2 为 PB 与竖直方向的夹角，则 \sin\theta_1 = \dfrac{x}{\sqrt{h_1^2+x^2}}，\sin\theta_2 = \dfrac{l-x}{\sqrt{h_2^2+(l-x)^2}}，上式即：

\frac{\sin \theta_1}{v_1} = \frac{\sin \theta_2}{v_2}.

这正是斯涅耳定律（Snell’s Law），说明耗时最短的路径满足与光的折射相同的规律。

函数的一阶导数和二阶导数分别为：

\begin{align*} y' &= \frac{1}{2\sqrt{x}}, \\ y'' &= -\frac{1}{4x^{3/2}}. \end{align*}

在函数定义域 (0, +\infty) 内 y'' < 0，故 y = \sqrt{x} 为凹函数。

计算二阶导数：y'' = 2 > 0，故 y = x^2 为凸函数。

计算二阶导数：y'' = -\dfrac{1}{x^2} < 0，故 y = \ln x 为凹函数。

取 a = 2, b = 1，则 k(x) = f(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 也是凸函数，因为 k''(x) = 8 > 0

匀速运动：s = s_0 + vt，求导得 s'(t) = v，故

ds = v\,dt.

对于线性函数，\Delta s = v\Delta t 精确成立（无误差），因为线性函数的差分与微分完全相等：\Delta s - ds = 0。

匀加速运动：s = s_0 + \frac{1}{2}at^2，求导得 s'(t) = at，故

ds = at\,dt.

此时真实增量 \Delta s = at\Delta t + \frac{1}{2}a(\Delta t)^2，而微分预测值为 at\Delta t，误差为 \frac{1}{2}a(\Delta t)^2。当 \Delta t \to 0 时，误差趋于零，体现了”化曲为直”的思想。

dx 与 d\theta 的关系：

对 x = b/\tan\theta = b\cot\theta 求导：

\frac{dx}{d\theta} = -\frac{b}{\sin^2\theta},

故

dx = -\frac{b}{\sin^2\theta}\,d\theta.

dl 与 d\theta 的关系：

对 l = b/\sin\theta 求导：

\frac{dl}{d\theta} = -\frac{b\cos\theta}{\sin^2\theta},

故

dl = -\frac{b\cos\theta}{\sin^2\theta}\,d\theta.

计算 dx/dl（利用微分之比）：

\frac{dx}{dl} = \frac{-\dfrac{b}{\sin^2\theta}\,d\theta}{-\dfrac{b\cos\theta}{\sin^2\theta}\,d\theta} = \frac{1}{\cos\theta}.

因此 dx = \dfrac{1}{\cos\theta}\,dl，即出射角每变化 dl 长度时，光斑横坐标变化 \dfrac{1}{\cos\theta}\,dl。

令 u = x^2，则 y = \mathrm{e}^u，故

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \mathrm{e}^u \cdot 2x = 2x\mathrm{e}^{x^2}.

令 u = \dfrac{x^2-1}{3x}，则 y = \cos u。

\frac{dy}{du} = -\sin u,

\frac{du}{dx} = \frac{(2x)(3x) - (x^2-1)(3)}{9x^2} = \frac{6x^2 - 3x^2 + 3}{9x^2} = \frac{x^2+1}{3x^2}.

由链式法则：

\frac{dy}{dx} = -\sin u \cdot \frac{x^2+1}{3x^2} = -\frac{x^2+1}{3x^2}\sin\frac{x^2-1}{3x}.

令 u = \cos x，则 y = \ln u。

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x.

令 u = 1+3x^3，则 y = u^{1/2}。

\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{1+3x^3}}, \quad \frac{du}{dx} = 9x^2.

由链式法则：

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1+3x^3}} \cdot 9x^2 = \frac{9x^2}{2\sqrt{1+3x^3}}.

令 y = \ln u，u = \sin v，v = 2x^2。

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \cos v \cdot 4x = \frac{\cos(2x^2)}{\sin(2x^2)} \cdot 4x = 4x\cot(2x^2).

令 u = \cos\sqrt{x}，v = \sqrt{x}。

\frac{dy}{du} = \mathrm{e}^u = \mathrm{e}^{\cos\sqrt{x}}, \quad \frac{du}{dv} = -\sin v = -\sin\sqrt{x}, \quad \frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

由链式法则：

y' = \mathrm{e}^{\cos\sqrt{x}} \cdot (-\sin\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{\mathrm{e}^{\cos\sqrt{x}}\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}.

\begin{aligned} y' &= (\cos 2x)'\cos^2 x + \cos 2x(\cos^2 x)' \\ &= -2\sin 2x\cos^2 x + \cos 2x \cdot (-2\sin x\cos x) \\ &= -2\cos x(\sin 2x\cos x + \cos 2x\sin x) \\ &= -2\cos x\sin 3x. \end{aligned}

（最后一步利用了 \sin(2x + x) = \sin 2x\cos x + \cos 2x\sin x。）

对方程两边关于 x 求导：

\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} + 2xy + x^2\frac{dy}{dx} = 0.

合并含 \dfrac{dy}{dx} 的项：

\left(\frac{1}{y} + x^2\right)\frac{dy}{dx} = -2xy.

解得（y \neq 0）：

\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy}{\frac{1}{y}+x^2} = -\frac{2xy^2}{1+x^2y}.

对方程两边关于 x 求导：

3y^2\frac{dy}{dx} + 3\frac{dy}{dx} - 2x - 10x^4 = 0.

解得：

\frac{dy}{dx} = \frac{2x + 10x^4}{3y^2 + 3}.

当 x = 0 时，代入原方程 y^3 + 3y = 0，即 y(y^2+3) = 0，实数解为 y = 0。

代入导数公式：

\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = \frac{0}{0+3} = 0.

对方程两边关于 x 求导：

\frac{2x}{9} - \frac{2y}{4}\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{9y}.

在点 (3\sqrt{2}, 2) 处的斜率：

k = \frac{2 \times 3\sqrt{2}}{9 \times 2} = \frac{\sqrt{2}}{3}.

切线方程：

y - 2 = \frac{\sqrt{2}}{3}(x - 3\sqrt{2}) \implies \sqrt{2}x - 3y = 0.

由 y = \arcsin x 得 x = \sin y。对两边关于 x 求导：

1 = \cos y \cdot \frac{dy}{dx}.

当 -\dfrac{\pi}{2} < y < \dfrac{\pi}{2} 时，\cos y > 0，故 \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y} = \sqrt{1-x^2}。

因此：

\frac{dy}{dx} = (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

类似可得 (\arccos x)' = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}。

由 y = \arctan x 得 x = \tan y。对两边关于 x 求导：

1 = \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx}.

利用恒等式 \sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + x^2，故：

\frac{dy}{dx} = (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}.

类似可得 (\text{arccot}\, x)' = -\dfrac{1}{1+x^2}。

两边取对数：

\ln y = \ln x \cdot \ln(x^2) = 2(\ln x)^2.

两边对 x 求导：

\frac{1}{y}y' = 4\ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{4\ln x}{x}.

故：

y' = y \cdot \frac{4\ln x}{x} = (x^2)^{\ln x} \cdot \frac{4\ln x}{x}.

设 x > 5，两边取对数：

\ln y = \frac{1}{2}\left[\ln(x-1) + \ln(x-2) - \ln(x-4) - \ln(x-5)\right].

两边对 x 求导：

\frac{y'}{y} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x-5}\right).

故：

y' = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-4)(x-5)}}\left(\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x-5}\right).

y' = -a\sin ax.

y'' = -a \cdot a\cos ax = -a^2\cos ax.

y' = k\mathrm{e}^{kx}, \quad y'' = k^2\mathrm{e}^{kx}, \quad y''' = k^3\mathrm{e}^{kx}, \quad y^{(4)} = k^4\mathrm{e}^{kx}.

观察规律：每求导一次多乘一个系数 k，故

y^{(n)} = k^n\mathrm{e}^{kx}.

对原方程两边关于 x 求导：

1 + 2\frac{dy}{dx} + \frac{1}{3}\sin y \cdot \frac{dy}{dx} = 0,

\frac{dy}{dx}\left(2 + \frac{1}{3}\sin y\right) = -1,

\frac{dy}{dx} = \frac{-3}{6+\sin y}.

对一阶导数再关于 x 求导：

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3\cos y \cdot \frac{dy}{dx}}{(6+\sin y)^2} = \frac{3\cos y \cdot \frac{-3}{6+\sin y}}{(6+\sin y)^2} = \frac{-9\cos y}{(6+\sin y)^3}.

\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \lim_{x \to 0} \frac{a\cos ax}{b\cos bx} = \frac{a}{b}.

\lim_{x \to 1} \frac{x^3-3x+2}{x^3-x^2-x+1} = \lim_{x \to 1} \frac{3x^2-3}{3x^2-2x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{6x}{6x-2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.

注意：第二次求导后 \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{6x}{6x-2} = \frac{3}{2} 已不是未定式，不能再次应用洛必达法则。

\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \frac{1}{6}.

\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{\pi}{2}-\arctan x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-\frac{1}{1+x^2}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{1+x^2} = 1.

\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{nx^{n-1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{nx^n} = 0.

这说明对数函数趋于无穷的速度比任何正幂次的幂函数都慢。

相继对分子分母求导 n 次：

\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^{\lambda x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{nx^{n-1}}{\lambda e^{\lambda x}} = \cdots = \lim_{x \to +\infty} \frac{n!}{\lambda^n e^{\lambda x}} = 0.

这说明指数函数趋于无穷的速度比任何幂函数都快。

x^n \ln x = \frac{\ln x}{x^{-n}}.

当 x \to 0^+ 时，上式是 \infty/\infty 型。应用洛必达法则：

\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x^{-n}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-nx^{-n-1}} = \lim_{x \to 0^+}\left(-\frac{x^n}{n}\right) = 0.

\sec x - \tan x = \frac{1-\sin x}{\cos x}.

当 x \to \dfrac{\pi}{2} 时，上式是 0/0 型。

\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin x}{\cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-\cos x}{-\sin x} = 0.

设 y = x^x，则 \ln y = x\ln x。

当 x \to 0^+ 时，\ln y = x\ln x 是 0 \cdot \infty 型，由前面的结论（\lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0，取 n=1）：

\lim_{x \to 0^+} \ln y = 0.

因此：

\lim_{x \to 0^+} x^x = \lim_{x \to 0^+} \mathrm{e}^{\ln y} = \mathrm{e}^0 = 1.

当 x \to 0 时，\sin x \sim x，故：

\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^2\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}.

对 0/0 型连续应用洛必达法则：

= \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sec^2 x\tan x}{6x} = \frac{1}{3}\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = \frac{1}{3}.