第四章: 积分

设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上有定义. 用分点 a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b 将区间任意分割成 n 个小区间, 在每个小区间 [x_{i-1}, x_i] 上任取一点 \xi_i, 作黎曼和 \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i.

如果当最大小区间长度 \lambda = \max\{\Delta x_i\} \to 0 时, 黎曼和的极限存在且与区间的分割方式以及点 \xi_i 的取法无关, 则称函数 f(x) 在 [a, b] 上可积, 并称此极限值为 f(x) 在 [a, b] 上的定积分, 记作:

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\lambda\to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i

其中: - “\displaystyle\int” 是积分号, 由莱布尼茨引入, 是求和符号 “S” 的拉长 - f(x) 称为被积函数 - f(x)dx 称为被积表达式 - x 称为积分变量 - [a, b] 称为积分区间 - a 称为积分下限, b 称为积分上限

几何意义: 当 f(x) \geq 0 时, 定积分 \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx 表示由曲线 y = f(x), 直线 x = a, x = b 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积.

设函数 f 在区间 [a, b] 上连续, 且 F 是 f 的任意一个原函数 (即 F'(x) = f(x)), 则 \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

通常记作: \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(x)\big|_a^b = F(b) - F(a)

定理的意义 - 它将复杂的积分计算问题转化为相对简单的求原函数问题. - 它建立了微分与积分之间的互逆关系: 求导和积分在某种意义上是”相反”的运算. - 它统一了微积分的两大核心操作, 揭示了变化率与累积量之间的深刻联系.

定理的直观证明

让我们从直观的角度来理解为什么这个定理成立.

考虑定积分 \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx, 它表示曲线 y = f(x) 下从 a 到 b 的面积.

现在定义一个新的函数: A(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt, 它表示从 a 到 x 的曲线下面积.

关键洞察: 当我们给 x 一个微小的增量 \Delta x 时, 面积 A 的增量为: \Delta A = A(x+\Delta x) - A(x) = \int_x^{x+\Delta x} f(t)\,dt

当 \Delta x 很小时, 在小区间 [x, x+\Delta x] 上, f(t) 的值近似等于 f(x), 因此 \Delta A \approx f(x)\Delta x

于是有 \displaystyle\frac{\Delta A}{\Delta x }\approx f(x)

当 \Delta x \to 0 时, 这个近似变得精确, 所以我们发现: A'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta A}{\Delta x} = f(x)

这意味着: 面积函数 A(x) 的导数正好等于被积函数 f(x)!

换句话说, A(x) 是 f(x) 的一个原函数.

现在, 设 F 是 f 的任意一个原函数, 由于同一函数的任意两个原函数之间只相差一个常数, 所以 A(x) = F(x) + C

当 x = a 时, A(a) = \displaystyle\int_a^a f(t)\,dt = 0, 所以 0 = F(a) + C, 即 C = -F(a)

因此 A(x) = F(x) - F(a)

当 x = b 时, A(b) = \displaystyle\int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a)

这就完成了证明.

定积分具有一系列重要的性质, 这些性质不仅有助于我们理解积分的本质, 还能简化积分的计算.

1. 线性性质

若函数 f 和 g 在 [a, b] 上可积, c 为常数, 则:

• 加法性质: \int_a^b [f(x) + g(x)]\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx
• 数乘性质: \int_a^b c\cdot f(x)\,dx = c\cdot \int_a^b f(x)\,dx

几何解释: 加法性质表示两个函数围成的总面积等于各自面积的代数和; 数乘性质表示函数值按比例缩放时, 面积也按相同比例缩放.

2. 区间可加性

若函数 f 在包含 a, b, c 的区间上可积, 则: \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx

几何解释: 从 a 到 b 的总面积等于从 a 到 c 的面积加上从 c 到 b 的面积.

3. 积分上下限交换

\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx

几何解释: 当积分方向反转时, 面积值变号, 这保证了面积的方向性.

4. 绝对值不等式

\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx

几何解释: 函数积分的绝对值不超过函数绝对值积分, 因为绝对值积分计算的是总面积 (不考虑正负), 而普通积分计算的是代数和.

5. 积分比较定理

若在 [a, b] 上 f(x) \leq g(x), 则 \int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx

几何解释: 函数值较大的曲线在相同区间上围成的面积也较大.

换元积分法源于链式法则的逆运算, 是计算积分最强大的工具之一.

基本思想: 通过变量代换, 将复杂的积分转化为简单的积分.

定理: 设函数 f 在区间 I 上连续, 函数 \varphi 在区间 J 上可导且值域包含于 I, 则 \int f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx = \int f(u)\,du,\quad u = \varphi(x)

直观解释: 链式法则告诉我们 $ (F((x)))’ = F’((x))‘(x) = f((x))’(x)$ 因此, \displaystyle\int f(\varphi(x))\varphi'(x) dx 应该是 F(\varphi(x)) + C 这正是 \displaystyle\int f(u) du 在 u = \varphi(x) 时的结果.

分部积分法源于乘积求导法则的逆运算, 适用于计算两个函数乘积的积分.

基本思想: 将难以直接计算的积分 \int u\,dv 转化为更容易计算的 \displaystyle\int v\,du

公式: \displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du

直观解释: 乘积法则告诉我们 (uv)' = u'v + uv' 两边积分得: uv = \displaystyle\int u'v dx + \displaystyle\int uv' dx 整理得: \displaystyle\int uv' dx = uv - \int u'v dx 这就是分部积分公式.

与不定积分的换元法相比, 定积分的换元法有一个重要特点: 需要同时改变积分限.

定理: 设函数 f 在区间 [a, b] 上连续, 函数 \varphi 在区间 [\alpha, \beta] 上具有连续导数, 且 \varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = b, 则 \int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt

关键区别: 在定积分中使用换元法时, 不仅要进行变量代换, 还要相应地改变积分上下限.

定积分的分部积分法与不定积分类似, 但结果是一个数值而非函数.

公式: \displaystyle\int_a^b u\,dv = [uv]_a^b - \int_a^b v\,du

关键区别: 在定积分的分部积分法中, uv 项需要代入上下限计算.

定积分还有一些不定积分不具备的特殊性质:

对称性: - 若 f 是偶函数 (f(-x) = f(x)), 则 \displaystyle\int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx - 若 f 是奇函数 (f(-x) = -f(x)), 则 \displaystyle\int_{-a}^a f(x)\,dx = 0

周期性: 若 f 是周期为 T 的周期函数, 则 \displaystyle\int_a^{a+T} f(x)\,dx = \int_0^T f(x)\,dx

这些特殊性质可以大大简化定积分的计算.

通过掌握这些积分方法, 我们能够解决各种复杂的积分计算问题, 为后续的数学学习和应用打下坚实基础.