第五章: 微分的应用

微分中值定理（拉格朗日中值定理）: 设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，并且在开区间 (a, b) 上可导。那么，存在一个点 c \in (a, b)，使得: f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

该定理的几何意义是: 在曲线 y = f(x) 上，至少存在一点 c，它的切线斜率等于割线通过点 (a, f(a)) 和 (b, f(b)) 的斜率。

罗尔中值定理: 设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 上可导，并且 f(a) = f(b)。那么，存在一个点 c \in (a, b)，使得: f'(c) = 0

几何意义: 如果一条连续光滑的曲线在两个端点处的高度相同，那么至少存在一点，该点的切线是水平的。

证明思路: 如果函数在闭区间上恒为常数，结论显然成立。否则，根据极值定理，函数在闭区间上必有最大值和最小值，且至少有一个极值点出现在开区间内部，在该点处导数为零。

设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，并且在开区间 (a, b) 上可导。那么，存在一个点 c \in (a, b)，使得: f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

几何意义: 在曲线 y = f(x) 上，至少存在一点 c，它的切线斜率等于割线通过点 (a, f(a)) 和 (b, f(b)) 的斜率。

证明思路: 构造辅助函数 g(x) = f(x) - \displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)，使得 g(a)=g(b)，然后应用罗尔定理。

设函数 f(x) 和 g(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 上可导，且 g'(x) \neq 0 对于所有 x \in (a, b) 成立。那么，存在一个点 c \in (a, b)，使得: \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}

几何意义: 考虑由参数方程 x = g(t), y = f(t) 表示的曲线，从 t=a 到 t=b。连接曲线两端点的割线斜率为 \displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}，而曲线上在 t=c 处的切线斜率为 \displaystyle\frac{f'(c)}{g'(c)}。柯西中值定理说明，至少存在一点 c，使得切线斜率等于割线斜率。

证明思路: 构造辅助函数 h(x) = f(x) - \displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]，使得 h(a)=h(b)，然后应用罗尔定理。

• 罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况: 当 f(a)=f(b) 时，拉格朗日定理的结论退化为罗尔定理的结论。
• 拉格朗日定理是柯西定理的特殊情况: 当 g(x)=x 时，柯西定理的结论退化为拉格朗日定理的结论。
• 这三个定理都是描述函数在区间上整体变化率与局部变化率之间的关系，都是存在性定理。

设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，则存在一点 c \in [a, b]，使得 \int_a^b f(x) dx = f(c)(b - a)

数值 \displaystyle\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx 称为函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的积分平均值。

几何意义: 由曲线 y = f(x)、直线 x=a、x=b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积，等于以 f(c) 为高的矩形的面积。

证明:

由于 f(x) 在 [a, b] 上连续，根据闭区间上连续函数的性质:

1. f(x) 在 [a, b] 上取得最小值 m 和最大值 M，即 m \leq f(x) \leq M, \quad \forall x \in [a,b]

2. 对不等式两边在 [a,b] 上积分: \int_a^b m dx \leq \int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b M dx 即 m(b-a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a)

3. 因此: m \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx \leq M

4. 根据连续函数的介值定理，存在 c \in [a,b]，使得 f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx

5. 即: \int_a^b f(x) dx = f(c)(b-a)

证毕。

设函数 f(x) 和 g(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且 g(x) 在 [a, b] 上不变号，则存在一点 c \in [a, b]，使得 \int_a^b f(x) g(x) dx = f(c) \int_a^b g(x) dx

证明思路: 类似基本定理的证明，利用最值定理和介值定理。

应用: 在加权平均、概率论和物理问题中有广泛应用。

洛必达法则: 设函数 f(x) 和 g(x) 在点 a 的某个去心邻域内可导，且满足: 1. \lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} g(x) = 0（或 \infty） 2. g'(x) \neq 0 在该邻域内 3. \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} 存在（或为 \infty）

则: \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

证明（\displaystyle\frac{0}{0}型情形）:

第一步: 函数延拓 定义: F(x) = \begin{cases} f(x) & x \neq a \\ 0 & x = a \end{cases}, \quad G(x) = \begin{cases} g(x) & x \neq a \\ 0 & x = a \end{cases}

由于 \lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} g(x) = 0，F(x) 和 G(x) 在 x=a 处连续。

第二步: 应用柯西中值定理 在包含 a 和 x 的区间上（x \neq a），F(x) 和 G(x) 满足柯西中值定理的条件: - 在闭区间上连续 - 在开区间上可导 - G'(x) = g'(x) \neq 0

因此，存在 \xi 介于 a 和 x 之间，使得: \frac{F(x) - F(a)}{G(x) - G(a)} = \frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}

由于 F(a) = G(a) = 0，上式化为: \frac{F(x)}{G(x)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

第三步: 取极限 当 x \to a 时，\xi \to a（因为 \xi 介于 a 和 x 之间），所以: \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{F(x)}{G(x)} = \lim_{\xi \to a} \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

这就完成了 \displaystyle\frac{0}{0} 型情形的证明。

无穷小量是指在某个极限过程中趋近于零的量。更精确地说:

设函数 f(x) 在点 x_0 的某个去心邻域内有定义。如果 \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 则称 f(x) 为 x \to x_0 时的无穷小量。

类似地，可以定义 x \to \infty 时的无穷小量。

例子: - 当 x \to 0 时，x, x^2, \sin x 都是无穷小量 - 当 x \to \infty 时，\displaystyle\frac{1}{x}, \displaystyle\frac{1}{x^2} 都是无穷小量

不同的无穷小量趋近于零的”速度”可能不同。为了比较这种差异，我们引入以下概念:

设 \alpha(x) 和 \beta(x) 都是 x \to x_0 时的无穷小量，且 \beta(x) \neq 0。

1. 高阶无穷小: 如果 \displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0，则称 \alpha(x) 是 \beta(x) 的高阶无穷小，记作 \alpha(x) = o(\beta(x)).

2. 等价无穷小: 如果 \displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1，则称 \alpha(x) 与 \beta(x) 是等价无穷小，记作 \alpha(x) \sim \beta(x).

3. 同阶无穷小: 如果 \displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = c \neq 0（c 为常数），则称 \alpha(x) 与 \beta(x) 是同阶无穷小.

幂函数 x^n 在 x \to 0 时构成了一套自然的”标尺”，用于衡量其他无穷小量的阶数:

• x 是一阶无穷小
• x^2 是二阶无穷小
• x^3 是三阶无穷小
• 一般地，x^n 是 n 阶无穷小

当我们说 f(x) = o(x^n) 时，意味着 f(x) 趋近于零的速度比 x^n 更快。

这套标尺的重要性在于: 任何足够光滑的函数在零点附近都可以用这些标准无穷小量的线性组合来近似表示——这正是泰勒展开的核心思想。

例子: - e^x - 1 \sim x（一阶近似） - e^x - 1 - x \sim \frac{1}{2}x^2（二阶近似） - \sin x - x \sim -\frac{1}{6}x^3（三阶近似）

在下一节中，我们将看到如何系统性地构造这种近似，即泰勒展开。

假设我们希望用多项式来近似函数 f(x): f(x) \approx a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots + a_nx^n

如何确定系数 a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n？

思路: 让近似多项式在 x=0 处与函数 f(x) 有尽可能多的”一致性”。

推导过程:

1. 零阶一致性: 在 x=0 处，函数值与近似值相等 f(0) = a_0 \quad \Rightarrow \quad a_0 = f(0)

2. 一阶一致性: 在 x=0 处，一阶导数相等 f'(0) = a_1 \quad \Rightarrow \quad a_1 = f'(0)

3. 二阶一致性: 在 x=0 处，二阶导数相等 f''(0) = 2a_2 \quad \Rightarrow \quad a_2 = \frac{f''(0)}{2}

4. n阶一致性: 在 x=0 处，n阶导数相等 f^{(n)}(0) = n! \cdot a_n \quad \Rightarrow \quad a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}

因此，我们得到了泰勒展开的系数公式: a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}

完整的泰勒公式（在 x=0 处，也称为 麦克劳林公式 ）为: f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)

其中 R_n(x) 是余项，表示近似误差。

例子验证: 对于 f(x) = e^x - f(0) = 1 ⇒ a_0 = 1 - f'(0) = 1 ⇒ a_1 = 1 - f''(0) = 1 ⇒ \displaystyle a_2 = \frac{1}{2} - f'''(0) = 1 ⇒ \displaystyle a_3 = \frac{1}{6}

这与我们之前的观察完全一致！

这个美妙的公式告诉我们: 函数在一点附近的行为完全由它在该点的各阶导数决定。这是微分学最深刻的结论之一。

设函数 f(x) 在 x=0 处有 n 阶导数，则存在邻域 U(0)，使得对于任意 x \in U(0)，有 f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n) 其中 o(x^n) 表示当 x \to 0 时，余项是 x^n 的高阶无穷小。

证明:

我们需要证明: \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{R_n(x)}{x^n} = 0，其中 R_n(x) = f(x) - P_n(x)，P_n(x) 是 n 次泰勒多项式。

方法一: 使用柯西中值定理

考虑函数 \phi(t) = f(t) - P_n(t) 和 \psi(t) = t^{n+1}

在区间 [0,x] 上应用柯西中值定理: \frac{\phi(x) - \phi(0)}{\psi(x) - \psi(0)} = \frac{\phi'(\xi)}{\psi'(\xi)} \quad \text{对某个 } \xi \in (0,x)

由于 \phi(0) = 0，\psi(0) = 0，我们有: \frac{R_n(x)}{x^{n+1}} = \frac{\phi'(\xi)}{(n+1)\xi^n}

但 \phi'(t) = f'(t) - P_n'(t)，而 P_n'(t) 是 f'(t) 的 (n-1) 阶泰勒多项式

由归纳假设，\displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{\phi'(t)}{t^n} = 0

因此: \lim_{x \to 0} \frac{R_n(x)}{x^{n+1}} = \lim_{\xi \to 0} \frac{\phi'(\xi)}{(n+1)\xi^n} = 0

这就证明了 R_n(x) = o(x^n)。

方法二: 使用洛必达法则

考虑极限 \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{R_n(x)}{x^n}

注意到: - R_n(0) = 0 - R_n'(0) = 0 - … - R_n^{(n-1)}(0) = 0

这是因为泰勒多项式 P_n(x) 的前 n 阶导数在 x=0 处与 f(x) 完全相同。

应用洛必达法则 n 次: \lim_{x \to 0} \frac{R_n(x)}{x^n} = \lim_{x \to 0} \frac{R_n'(x)}{nx^{n-1}} = \cdots = \lim_{x \to 0} \frac{R_n^{(n-1)}(x)}{n!x}

现在考虑最后一个极限: \lim_{x \to 0} \frac{R_n^{(n-1)}(x)}{n!x} = \frac{1}{n!} \lim_{x \to 0} \frac{R_n^{(n-1)}(x) - R_n^{(n-1)}(0)}{x}

根据导数的定义，这个极限等于 \frac{1}{n!} R_n^{(n)}(0)

但 \begin{aligned} R_n^{(n)}(0) &= f^{(n)}(0) - P_n^{(n)}(0) \\ &= f^{(n)}(0) - n! \cdot \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \\ &= 0 \end{aligned}

因此: \lim_{x \to 0} \frac{R_n(x)}{x^n} = 0

这就证明了 R_n(x) = o(x^n)。

设函数 f(x) 在包含 0 和 x 的区间上具有 n+1 阶连续导数，则存在 \xi 介于 0 和 x 之间，使得 f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}

其中 \displaystyle\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1} 称为拉格朗日余项。

证明思路:

考虑辅助函数: F(t) = f(x) - \left[ f(t) + f'(t)(x-t) + \frac{f''(t)}{2!}(x-t)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n \right]

和 G(t) = (x-t)^{n+1}

在区间 [0,x]（或 [x,0]）上应用柯西中值定理: \frac{F(x) - F(0)}{G(x) - G(0)} = \frac{F'(\xi)}{G'(\xi)} \quad \text{对某个 } \xi \in (0,x)

经过计算可得: F'(\xi) = -\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n, \quad G'(\xi) = -(n+1)(x-\xi)^n

代入并整理即得拉格朗日余项公式。

泰勒定理（带柯西余项）: 设函数 f(x) 在包含 0 和 x 的区间上具有 n+1 阶连续导数，则存在 \theta \in (0,1)，使得 f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{n!}(1-\theta)^n x^{n+1}

其中 \displaystyle\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{n!}(1-\theta)^n x^{n+1} 称为柯西余项。

证明思路:

使用与拉格朗日余项类似的证明方法，但选择不同的辅助函数 G(t)。

柯西余项的特点:

1. 形式不同: 柯西余项与拉格朗日余项的表达式不同
2. 适用范围: 在某些情况下，柯西余项能给出更精确的误差估计
3. 理论价值: 在分析泰勒级数的收敛性时很有用

设函数 f(x) 在包含 0 和 x 的区间上具有 n+1 阶连续导数，则 f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x) 其中积分余项为: R_n(x) = \frac{1}{n!} \int_0^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt

推导过程:

1. 从微积分基本定理出发: f(x) = f(0) + \int_0^x f'(t) dt

2. 对积分 \int_0^x f'(t) dt 进行分部积分，令 u = f'(t), dv = dt: \int_0^x f'(t) dt = \left[ f'(t) \cdot t \right]_0^x - \int_0^x t f''(t) dt = x f'(0) + \int_0^x (x-t) f''(t) dt

3. 重复此过程，每次分部积分都会产生一个新的泰勒项和余下的积分: f(x) = f(0) + x f'(0) + \frac{x^2}{2!} f''(0) + \cdots + \frac{x^n}{n!} f^{(n)}(0) + \frac{1}{n!} \int_0^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt

这样就得到了积分余项公式。

泰勒展开式: e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

收敛性: 对所有实数 x 都收敛

推导: - f(x) = e^x，f^{(n)}(x) = e^x，f^{(n)}(0) = 1 - 代入泰勒公式: \displaystyle a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{1}{n!}

应用: 计算 e 的近似值 e = e^1 \approx 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} \approx 2.71667

泰勒展开式: \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}

收敛性: 对所有实数 x 都收敛

推导: - \displaystyle\sin^{(n)}(x) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) - \sin^{(n)}(0) 的值为: 0, 1, 0, -1, 0, 1, …（循环） - 只有奇数次项非零，且符号交替

特点: 只包含奇数次项，这与 \sin x 是奇函数相符

泰勒展开式: \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}

收敛性: 对所有实数 x 都收敛

推导: - \displaystyle\cos^{(n)}(x) = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) - \cos^{(n)}(0) 的值为: 1, 0, -1, 0, 1, 0, …（循环） - 只有偶数次项非零，且符号交替

特点: 只包含偶数次项，这与 \cos x 是偶函数相符

泰勒展开式: \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}

收敛区间: -1 < x \leq 1

推导: - \displaystyle f(x) = \ln(1+x)，\displaystyle f'(x) = \frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n（几何级数） - 逐项积分得到 \ln(1+x) 的展开式

注意: 当 x=1 时，得到著名的交错调和级数 \ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots

泰勒展开式（广义二项式定理）: (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots

收敛区间: - 当 \alpha 是非负整数时: 对所有 x 成立（有限项） - 当 \alpha 不是非负整数时: |x| < 1

特殊情况: - \displaystyle \alpha = -1: \displaystyle\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots - \displaystyle \alpha = \frac{1}{2}: \displaystyle\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \cdots - \displaystyle \alpha = -\frac{1}{2}: \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \cdots

泰勒展开为计算复杂极限提供了系统的方法，特别是当洛必达法则变得繁琐时。

泰勒展开为函数值的近似计算提供了系统方法，特别在数值分析和工程计算中应用广泛。

泰勒展开为证明函数不等式提供了有效方法。

设函数 f(x) 和 g(x) 在 x_0 的某个去心邻域内有定义。如果存在常数 M > 0 和 \delta > 0，使得当 0 < |x - x_0| < \delta 时，有 |f(x)| \leq M|g(x)| 则称 f(x) 是 g(x) 的大O，记作 f(x) = O(g(x))（当 x \to x_0）。

直观理解: f(x) = O(g(x)) 表示 f(x) 的增长速率不超过 g(x) 的常数倍。

大O符号与皮亚诺余项的比较

关键区别:

• o(x^n) 保证余项比 x^n 更快地趋近于零
• O(x^{n+1}) 保证余项最多是 x^{n+1} 的常数倍

设函数 f(x) 在 x=0 处有 n+1 阶连续导数，则 f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + O(x^{n+1})

证明思路: 由拉格朗日余项公式: R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}

由于 f^{(n+1)}(x) 在 x=0 附近连续，故有界，即存在 M > 0 使得 |f^{(n+1)}(x)| \leq M，因此 |R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!}|x|^{n+1}

即 R_n(x) = O(x^{n+1})。