第六章: 积分的应用
6.1 几何应用: 求体积与弧长
6.1.1 微元法思想
微元法是积分学中解决几何与物理问题的核心思想, 它将复杂的整体问题分解为无穷多个简单的局部问题.
基本思路:
- 分割: 将所求的整体量对应的区域分割成许多微小部分
- 近似: 在每个微小部分上, 用简单的几何量近似代替复杂的实际量
- 求和取极限: 将所有微小部分的近似值相加, 然后通过取极限得到精确值
如果要求整体量 Q, 先找出微元 dQ = f(x)dx, 然后通过积分得到 Q = \int_a^b dQ = \int_a^b f(x)dx
计算曲线 y = f(x) 在 [a,b] 上与 x 轴围成的面积。
![曲线 y=f(x) 与 x 轴在 [a,b] 围成的区域面积 \int_a^b f(x)\,dx](../media/img/chpt6_ex017.png)
利用微元法：将区间 [a,b] 分成若干小区间，在每个小区间 [x, x+dx] 上用矩形近似面积微元，再求和取极限。
利用微元法：
- 分割：将 [a,b] 分成 n 个小区间；
- 近似：每个小区间 [x, x+dx] 上的面积微元为 dA = f(x)dx；
- 求和取极限：
A = \int_a^b f(x)\,dx
6.1.2 体积的计算
计算底面积为 A，高为 h 的棱柱体积。
利用截面法：棱柱所有截面面积相同，直接积分。
所有截面面积均为 A，故
V = \int_0^h A\,dx = Ah.
计算底半径为 R，高为 h 的圆锥体积。
在高度 x 处截面半径为 r(x) = R \cdot x/h，对截面面积从 0 到 h 积分。
在高度 x 处，截面是半径为 r(x) = \dfrac{Rx}{h} 的圆，面积为 A(x) = \pi r^2(x) = \dfrac{\pi R^2 x^2}{h^2}。
V = \int_0^h \frac{\pi R^2 x^2}{h^2}\,dx = \frac{\pi R^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}\pi R^2 h.
曲线 y = f(x) 绕 x 轴旋转一周形成的旋转体体积: V = \int_a^b \pi [f(x)]^2 dx
推导: 在 x 处垂直于 x 轴的截面是半径为 f(x) 的圆盘, 面积 A(x) = \pi [f(x)]^2
计算曲线 y = \sqrt{x} 在 [0,1] 上绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体体积。
![y=\sqrt{x} 在 [0,1] 上绕 x 轴旋转, 形成的旋转体 — 在 x 处的截面是半径 \sqrt{x} 的圆](../media/img/chpt6_ex003.png)
用旋转体体积公式 V = \displaystyle\int_a^b \pi [f(x)]^2\,dx。
V = \int_0^1 \pi(\sqrt{x})^2\,dx = \pi\int_0^1 x\,dx = \pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}.
曲线 y = f(x) 绕 y 轴旋转一周形成的旋转体体积: V = \int_a^b 2\pi x f(x) dx
推导: 在 x 处厚度为 dx 的柱壳体积微元 dV = 2\pi x \cdot f(x) \cdot dx
计算曲线 y = x 在 [0,1] 上绕 y 轴旋转一周所形成的旋转体体积。
![直线 y=x 在 [0,1] 上绕 y 轴旋转 — 形成顶端在原点的倒置圆锥, 高度 y 处的圆半径等于 y](../media/img/chpt6_ex004.png)
用柱壳法（薄壳公式）：V = \displaystyle\int_a^b 2\pi x f(x)\,dx。
V = \int_0^1 2\pi x \cdot x\,dx = 2\pi\int_0^1 x^2\,dx = 2\pi \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\pi}{3}.
6.1.3 曲线弧长
曲线 y = f(x) 在 [a,b] 上的弧长: L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx
推导: 弧长微元 ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx
计算曲线 y = x^{3/2} 从 x=0 到 x=1 的弧长。
![y=x^{3/2} 在 [0,1] 的曲线, 红色短箭头标出弧长微元 ds=\sqrt{1+(y')^2}\,dx](../media/img/chpt6_ex005.png)
用弧长公式 L = \displaystyle\int_0^1 \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx，令 u = 1 + \dfrac{9}{4}x 换元求积分。
f'(x) = \dfrac{3}{2}x^{1/2}，故
L = \int_0^1 \sqrt{1 + \frac{9}{4}x}\,dx.
令 u = 1 + \dfrac{9}{4}x，则 du = \dfrac{9}{4}dx；当 x=0 时 u=1，当 x=1 时 u=\dfrac{13}{4}。
L = \frac{4}{9}\int_1^{13/4} \sqrt{u}\,du = \frac{4}{9} \cdot \frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_1^{13/4} = \frac{8}{27}\left[\left(\frac{13}{4}\right)^{3/2} - 1\right].
曲线由参数方程 x = x(t), y = y(t) (\alpha \leq t \leq \beta) 给出时, 弧长为: L = \int_\alpha^\beta \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt
用参数方程下的弧长公式计算半径为 R 的圆的周长。
圆的参数方程为 x = R\cos t，y = R\sin t（0 \leq t \leq 2\pi），代入参数弧长公式。
\frac{dx}{dt} = -R\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = R\cos t.
L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(-R\sin t)^2 + (R\cos t)^2}\,dt = \int_0^{2\pi} R\,dt = 2\pi R.
曲线由极坐标方程 r = r(\theta) (\alpha \leq \theta \leq \beta) 给出时, 弧长为: L = \int_\alpha^\beta \sqrt{[r(\theta)]^2 + \left[\frac{dr}{d\theta}\right]^2} d\theta
推导: 利用直角坐标与极坐标的关系 x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, 代入参数方程的弧长公式可得.
计算心形线 r = a(1+\cos\theta)（0 \leq \theta \leq 2\pi）的周长。
![心形线 r = a(1+\cos\theta), \theta\in[0, 2\pi] — 经典极坐标曲线, 周长为 8a](../media/img/chpt6_ex007.png)
用极坐标弧长公式 L = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{r^2 + (r')^2}\,d\theta，利用半角公式 1+\cos\theta = 2\cos^2(\theta/2) 化简被积函数。
\dfrac{dr}{d\theta} = -a\sin\theta，故
L = \int_0^{2\pi} \sqrt{a^2(1+\cos\theta)^2 + a^2\sin^2\theta}\,d\theta = a\int_0^{2\pi}\sqrt{2+2\cos\theta}\,d\theta.
利用 1+\cos\theta = 2\cos^2(\theta/2)：
L = a\int_0^{2\pi} 2\left|\cos\frac{\theta}{2}\right|d\theta = 4a\int_0^{\pi}\cos\frac{\theta}{2}\,d\theta = 8a.
6.2 物理中的应用: 功与能量
在物理学中, 力沿路径做的功定义为力与位移的乘积. 当力是变力时, 需要用积分计算.
6.2.1 有限区域内的变力做功
弹簧压缩做功：根据胡克定律，弹性系数为 k 的弹簧，将弹簧从平衡位置压缩 L 距离，求所做的功。
弹簧力 F(x) = kx，对力沿压缩方向积分。
W = \int_0^L kx\,dx = \frac{1}{2}kL^2.
抽水做功：设圆柱形水箱半径为 R，高为 H，装满密度为 \rho 的液体，求将液体全部抽出水箱顶部所需做的功。
将水箱沿高度方向分层，距底面高度 x 处的薄层需提升距离为 H-x，建立积分。
距底面高度 x 处厚度为 dx 的水层的质量为 \rho\pi R^2\,dx，需提升距离 H-x，故功微元为
dW = \rho\pi R^2(H-x)\,g\,dx.
总功为
W = \int_0^H \rho g\pi R^2(H-x)\,dx = \rho g\pi R^2 \cdot \frac{H^2}{2} = \frac{1}{2}\rho g\pi R^2 H^2.
6.2.2 无穷区域上的做功问题
万有引力做功：质量为 m 的物体从距地心 r 处移动到无穷远处，求克服地球引力所做的功（地球质量 M，引力常数 G）。
引力 F(x) = GMm/x^2，对变力沿路径积分，上限取 \infty（反常积分）。
W = \int_r^\infty \frac{GMm}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty} GMm\left[-\frac{1}{x}\right]_r^b = \lim_{b\to\infty} GMm\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{b}\right) = \frac{GMm}{r}.
这就是引力势能公式，积分收敛于有限值。
当被积函数在积分区间内无界时, 也需要通过极限来定义积分.
计算电场强度：考虑函数 f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} 在 [0,1] 上的积分（无界函数的反常积分）。
x=0 处函数无界，通过极限定义反常积分：令下限趋于 0^+。
\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{a\to 0^+}\int_a^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{a\to 0^+}\left[2\sqrt{x}\right]_a^1 = \lim_{a\to 0^+}(2-2\sqrt{a}) = 2.
积分收敛于 2。
6.3 概率中的应用
积分学在概率论中扮演着核心角色, 特别是在处理连续型随机变量时. 本节将介绍如何用积分来描述和分析连续随机现象. 掌握积分在概率中的应用, 不仅是学习概率论的基础, 也是理解现代统计学, 金融工程等领域的必备工具.
对于连续型随机变量, 我们不能像离散情况那样谈论某个具体值的概率, 而是使用概率密度函数来描述概率分布.
定义: 如果存在非负函数 f(x), 使得对任意实数 a \leq b, 随机变量 X 落在区间 [a,b] 内的概率为 P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx 则称 f(x) 为 X 的概率密度函数.
性质: 1. 非负性: f(x) \geq 0 对所有 x 成立 2. 归一性: \displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x) dx = 1
验证函数
f(x) = \begin{cases} 2x & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}
是否为概率密度函数。
![三角形概率密度 f(x)=2x 在 [0,1] 上, 阴影面积 \int_0^1 2x\,dx = 1 验证为 PDF](../media/img/chpt6_ex012.png)
检查两个条件：非负性（f(x) \geq 0）和归一性（积分等于 1）。
非负性：在 [0,1] 上 2x \geq 0，满足。
归一性：
\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_0^1 2x\,dx = \left[x^2\right]_0^1 = 1.
两个条件均满足，故 f(x) 是合法的概率密度函数。
均匀分布描述了一个随机变量在某个区间内等可能取值的现象.
定义: 如果随机变量 X 在区间 [a,b] 上有概率密度函数 f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & a \leq x \leq b \\ 0 & \text{其他} \end{cases} 则称 X 服从均匀分布, 记作 X \sim U(a,b).
公共汽车每10分钟一班，乘客随机到达车站，求等待时间不超过3分钟的概率。
等待时间 X 服从均匀分布 U(0,10)，用概率密度函数计算区间概率。
X \sim U(0,10)，概率密度函数 f(x) = \dfrac{1}{10}（0 \leq x \leq 10）。
P(0 \leq X \leq 3) = \int_0^3 \frac{1}{10}\,dx = \frac{3}{10}.
指数分布常用于描述等待时间, 寿命等随机现象.
定义: 如果随机变量 X 有概率密度函数 f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases} 其中 \lambda > 0, 则称 X 服从参数为 \lambda 的指数分布.
某电子元件的寿命 X（单位：小时）服从参数 \lambda = 0.001 的指数分布，求该元件能工作超过1000小时的概率。
P(X > 1000) = \displaystyle\int_{1000}^\infty \lambda e^{-\lambda x}\,dx，用反常积分计算。
P(X > 1000) = \int_{1000}^\infty 0.001\,e^{-0.001x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[-e^{-0.001x}\right]_{1000}^b = e^{-1} \approx 0.3679.
正态分布 (高斯分布) 是概率论与统计学中最重要的分布, 它描述了自然界中大量随机现象的分布规律.
定义: 如果随机变量 X 有概率密度函数 f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} 则称 X 服从正态分布, 记作 X \sim N(\mu,\sigma^2).
参数意义: - \mu: 均值, 决定分布的中心位置 - \sigma: 标准差, 决定分布的分散程度
标准正态分布: 当 \mu = 0, \sigma = 1 时, 称为标准正态分布, 其概率密度函数为 \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}
概率计算: 对于 X \sim N(\mu,\sigma^2), P(a \leq X \leq b) = \displaystyle\int_a^b \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx
这个积分没有初等函数形式的原函数, 谜底留到第二册.
6.4 反常积分
反常积分处理两类问题: 无穷区间上的积分和无界函数的积分.
定义: 1. \displaystyle\int_a^\infty f(x) dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) dx 2. \displaystyle\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) dx 3. \displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^\infty f(x) dx (c 为任意实数)
收敛判别: 如果极限存在且有限, 则称反常积分收敛; 否则称发散.
研究反常积分 \displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx 的收敛性（p 为实数）。
对 p \neq 1 和 p = 1 分情况讨论，通过求极限判断收敛发散。
当 p \neq 1 时：
\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx = \lim_{b\to\infty}\frac{b^{1-p}-1}{1-p}.
- 若 p > 1：b^{1-p} \to 0，积分收敛于 \dfrac{1}{p-1}。
- 若 p < 1：b^{1-p} \to \infty，积分发散。
当 p = 1 时：
\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\ln b = \infty.
发散。
结论：p > 1 时收敛，p \leq 1 时发散。
如果函数 f(x) 在点 c 的任意邻域内无界, 则称 c 为瑕点.
定义: 1. 若 f(x) 在 [a,b) 上连续, 且 \lim_{x \to b^-} f(x) = \infty, 则 \int_a^b f(x) dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x) dx
若 f(x) 在 (a,b] 上连续, 且 \lim_{x \to a^+} f(x) = \infty, 则 \int_a^b f(x) dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x) dx
若 c \in (a,b) 是瑕点, 则 \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx
研究瑕积分 \displaystyle\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx 的收敛性（p 为实数，x=0 为瑕点）。
x=0 处函数无界，通过令下限趋于 0^+ 的极限来判断收敛性。
当 p \neq 1 时：
\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx = \lim_{a\to 0^+}\frac{1-a^{1-p}}{1-p}.
- 若 p < 1：a^{1-p} \to 0，积分收敛于 \dfrac{1}{1-p}。
- 若 p > 1：a^{1-p} \to \infty，积分发散。
当 p = 1 时：
\int_0^1 \frac{1}{x}\,dx = \lim_{a\to 0^+}(-\ln a) = \infty.
发散。
结论：p < 1 时收敛，p \geq 1 时发散。