给定数列 \{a_n\}_{n=1}^{\infty}, 称形式上的”和” \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 为无穷级数. 其前 n 项和 S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i 称为级数的部分和 (Partial sum). 若 \displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n = S 存在 (是有限常数), 则称级数收敛 (Convergent), S 是它的和; 否则称发散 (Divergent).

三个最常用作参照标准的级数:

(1) 几何级数 (等比级数): \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a q^{n-1} (a \ne 0). 部分和 S_n = a \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q} (q \ne 1). 因此 - |q| < 1: 收敛, 和 = \dfrac{a}{1-q}; - |q| \ge 1: 发散.

(2) 调和级数: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots 通项 \frac{1}{n} \to 0, 但级数发散 —— 这是”通项趋零 ⇎ 收敛”最重要的反例.

(3) 裂项相消级数: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}. S_n = \sum_{k=1}^{n}\!\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} \xrightarrow{n\to\infty} 1. 收敛, 和 = 1.

设 \sum u_n = s, \sum v_n = \sigma 都收敛.

1. 数乘: \sum k u_n = k s (k 为常数).
2. 线性组合: \sum (u_n \pm v_n) = s \pm \sigma.
3. 去掉、增加或改变有限项, 不改变级数的收敛性 (但和会改变).
4. 通项必要条件: \sum u_n 收敛 \Rightarrow \displaystyle\lim_{n\to\infty} u_n = 0.

正项级数 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n 收敛 \iff 部分和数列 \{S_n\} 有界.

设 \sum u_n, \sum v_n 都是正项级数, 且自某项起 u_n \le v_n:

• 若”大级数” \sum v_n 收敛, 则”小级数” \sum u_n 收敛;
• 若”小级数” \sum u_n 发散, 则”大级数” \sum v_n 发散.

设 \sum u_n, \sum v_n 是正项级数. 若 \lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{v_n} = l \in (0, +\infty), 则两级数同收敛或同发散.

设 \sum u_n 是正项级数. 若 \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho, 则:

• \rho < 1: 收敛;
• \rho > 1 (或 \rho = +\infty): 发散;
• \rho = 1: 本法失效, 需借助其他方法.

这是判定指数衰减/增长形级数最有力的工具.

对交错级数 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n (u_n > 0), 若同时满足:

1. u_n \ge u_{n+1} (各项绝对值单调递减);
2. \displaystyle\lim_{n\to\infty} u_n = 0;

则级数收敛. 进一步有部分和误差估计 |S - S_n| \le u_{n+1} —— 误差不超过被截断的下一项.

对一般 (含正负项) 级数 \sum u_n:

• 若 \sum |u_n| 收敛, 称 \sum u_n 绝对收敛. 绝对收敛的级数必收敛, 且其重排不改变级数的和.
• 若 \sum u_n 收敛但 \sum |u_n| 发散, 称 \sum u_n 条件收敛. 经典例子: 交错调和级数 \sum (-1)^{n-1}/n 收敛 (莱布尼茨), 但加绝对值后是调和级数, 发散.

形如 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots 的级数称为 (中心在原点的) 幂级数, 系数 \{a_n\} 是给定常数. 一般地, 中心在 x_0 处的幂级数写作 \displaystyle\sum a_n (x - x_0)^n.

幂级数的”积木”正是单项式 1, x, x^2, \ldots. 上图把它们按次数着色一起画出 (拖动滑块增减最高次数, 滚轮缩放 x 轴). 注意三件事: 偶次项关于 y 轴对称、奇次项关于原点对称; 次数越高, 曲线在原点附近越平、越贴近 x 轴; 而在 |x|=1 处所有曲线都穿过 \pm 1, 一旦 |x|>1 高次项便迅速发散. 这条 |x|=1 的分界线, 正是后面”收敛半径”的几何来源. 给每根 x^n 配一个系数 a_n 再叠加, 就得到一条幂级数曲线.

若幂级数 \sum a_n x^n 在 x = x_0 \ne 0 处收敛, 则对所有满足 |x| < |x_0| 的 x, 它绝对收敛; 反之, 若在 x = x_1 处发散, 则对所有 |x| > |x_1| 的 x, 它发散.

推论: 幂级数的收敛域必是一个以原点为中心的对称区间.

Abel 定理保证存在唯一的 R \in [0, +\infty], 使得

• |x| < R 时幂级数绝对收敛;
• |x| > R 时发散;
• |x| = R (端点 x = \pm R) 时收敛性需单独判定.

这个 R 称为收敛半径. 收敛域是 (-R, R) 加上端点收敛性后的具体集合.

收敛半径的求法 (比值法): 若 \displaystyle \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \rho, 则 R = \frac{1}{\rho} \quad (\rho = 0 \Rightarrow R = +\infty;\ \rho = +\infty \Rightarrow R = 0).

这五个展开是数值计算与计算机算法中最常用的:

1. \displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots \quad (x \in \mathbb{R})
2. \displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad (x \in \mathbb{R})
3. \displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \quad (x \in \mathbb{R})
4. \displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \quad (-1 < x < 1)
5. \displaystyle \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} \quad (-1 < x \le 1)

三块面板各自带有阶数滑块 N 与重置按钮, 可独立调节; 红线是泰勒部分和 T_N(x) = \sum_{k=0}^{N} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^k, 蓝线是目标函数; 每块都可用滚轮单独缩放 x 轴.

• 左 (e^x): 无论把 x 轴拉得多宽, 只要 N 取得足够大, 红线就从原点向两侧不断追上蓝线 —— e^x 的级数处处收敛 (R=+\infty).
• 中 (\sin x): 绿色阴影标出 [-\pi,\pi]. 低阶时红线已在带内贴合, 容易让人误以为”只在 [-\pi,\pi] 收敛”; 但把 N 调大, 贴合区会越过 \pm\pi 持续外扩. 答案是: \sin x 同样处处收敛, [-\pi,\pi] 只是低阶就够用的范围, 而非收敛域的边界.
• 右 (\frac{1}{1-x}): 收敛半径有限的对照. 绿色阴影标出 (-1,1). 带内 N 越大红线越贴合蓝线; 可一旦越过 x=\pm 1, 无论 N 多大红线都剧烈发散 —— 几何级数 \sum x^n 的收敛域恰是 (-1,1), R=1.

对照本节展开式 1–3 的注记 “x\in\mathbb{R}”: 它们的收敛半径都是 +\infty; 而展开式 4、5 的 R=1, 越界即发散 —— 这正是下一节强调”收敛半径”的原因.

设 f(x) 以 2\pi 为周期 (在适当条件下), 则它可展开为三角级数: f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl[a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\bigr].

傅里叶系数通过下列积分给出: a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\, dx, \quad a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx)\, dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx)\, dx.

a_0/2 是信号的”直流分量” (平均值); a_n, b_n 描述各频率成分的振幅与相位.

e^{ix} = \cos x + i \sin x.

推论: 当 x = \pi 时得到数学上最优雅的恒等式 e^{i\pi} + 1 = 0, 它把数学中最重要的五个常数 0, 1, i, \pi, e 融为一体.

反解出三角函数: \cos(nx) = \frac{e^{inx} + e^{-inx}}{2}, \qquad \sin(nx) = \frac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i}.

把欧拉公式代入实数形式并合并整理, 三项 (常数项、a_n 项、b_n 项) 被压缩成一个统一公式: f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\, e^{inx}, \qquad c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\, e^{-inx}\, dx.

这里 n 取遍正负整数与零, 代表信号离散的频率成分; |c_n| 是该频率成分的振幅, \arg c_n 是其相位.

设密度 \rho, 比热容 c, 热导率 k 均为常数, 区域内无热源. 则温度 u(x,y,z,t) 满足 \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\,\Delta u, \qquad \alpha = \frac{k}{c\rho}, \qquad \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}. 常数 \alpha 称热扩散系数.

设电场 \bm{E}(x,y,z,t), 磁场 \bm{B}(x,y,z,t), 电荷密度 \rho, 电流密度 \bm{J} 满足通常的光滑性假设, \varepsilon_0,\mu_0 为真空电常数与磁常数. 则 \begin{aligned} \nabla\cdot\bm{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0}, &\quad &\text{(Gauss 电定律)} \\ \nabla\cdot\bm{B} &= 0, &\quad &\text{(Gauss 磁定律: 无磁单极)} \\ \nabla\times\bm{E} &= -\frac{\partial\bm{B}}{\partial t}, &\quad &\text{(Faraday 感应定律)} \\ \nabla\times\bm{B} &= \mu_0\bm{J}+\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial\bm{E}}{\partial t}. &\quad &\text{(Ampère\,–\,Maxwell 定律)} \end{aligned}