微积分 第一回前七节 教师用

微积分第一回前七节教案

对象：数学基础约为高中一、二年级的文科学生。任务：从圆面积问题出发，建立集合、映射、函数与数列的认识，借助图像形成趋近直观，初步理解极限定义中的应答规则。

课时与目标

课次建议时间讲义范围可观察的学习结果
190分钟第一至二节换算常见角；计算特殊角；写出多边形面积规则
290分钟第三至四节辨别映射与反例；计算函数值；认识数列是特殊函数
390分钟第五至六节画基本图像；区分点列与曲线；讨论无限酒店
490分钟第七节按误差选N；解释任意与所有；初识ε与δ

每次90分钟可拆为两节45分钟。进度紧时，特殊角表、画图及酒店挑战题留作课后；极限定义不以背诵完整符号为唯一达标标准。

重点与准备

重点：对象与规则的抽象；图像的输入输出含义；“任意误差”和“所有后续项”。难点：角度与弧度混用、把多对一判成非函数、将无穷当作普通数、量词顺序颠倒。

准备：投影讲义和学案、普通计算器或手机计算器、直尺、双色笔。课前确认计算器可切换RAD；视频不能播放时，用房号卡片代替。学生两人一组，轮流解释，不要求公开报告成绩。

材料对应当前讲义第一至七节，不提前讲四则运算、两边夹定理或圆面积的最终证明。以下题号与学生学案一一对应。日期：2026年10月11日。

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第一课 从圆到面积数列

目标：由“知道圆面积公式”转向“追问依据”；能换算五个常见角并推导单位圆内接正多边形面积。

时间教学活动检查点
0–10分钟Q01–03 独立热身后两人互讲看平方、开方和三角比是否需要补讲
10–20分钟Q04–05 提问圆面积与有限拼接只提出问题，暂不宣布证明
20–40分钟Q06–09 弧度、特殊角与计算器教师演示DEG和RAD的不同结果
40–55分钟Q10–11 拆分正六边形顶角与半顶角分开标注
55–75分钟Q12–15 推导一般面积规则用正方形结果交叉核对
75–85分钟Q16 倍角公式辨误与口答先举反例，再写正确式
85–90分钟离堂检查与反馈说出输入、输出及n的范围

教师提问与支架

先问“sin(π/3)该是多少”，若学生直接把π当180，追问“π这个数等于180吗，还是两种角度单位相对应”。用半周角和一整周角帮助辨认。特殊角只要求从30°、45°、60°的三角形恢复，不从头讲完整三角函数理论。

推导时板书四步：顶角2π/n；半角π/n；底2sin(π/n)、高cos(π/n)；乘n得到Aₙ。基础弱的学生先完成n=6，再跟随一般n。不要引用扇形面积公式，否则会把圆面积结论提前用进推导。

反馈与作业

若约三分之一学生不会Q06或Q08，再留5分钟同伴讲解，以Q16的独立练习时间调剂。课后重做Q06、Q12、Q14；能用自己的话说出公式中每个量的含义即为本课达标。

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第二课 从集合到函数

时间教学活动检查点
0–10分钟用A₄复习并完成Q17能区分下标和面积值
10–25分钟Q18–19 集合与数列集合不计次序，数列保留位置
25–45分钟Q20–22 名字词牌映射每个输入有且仅有一个输出
45–55分钟Q23 学生自拟反例必须写清输入和输出集合
55–75分钟Q24–27 函数计算与辨别常函数、多对一、零作分母
75–85分钟Q28–29 数列与函数限制输入范围仍可得到函数
85–90分钟两人互讲一个反例用定义而不是图形印象判断

讲授安排

在黑板左右画两个集合，先不写公式。让学生为李白、杜甫、苏轼画箭头，然后删掉输出集合中的“子美”，请学生指出哪条规则失败。再用两首《如梦令》说明多对一完全允许。

函数是本课程中数集之间的映射。用“输入机器”讲f(3)，要求学生说出代入过程；对x²先比较−2和2，专门检查学生是否把“输出唯一”误读成“一一对应”。

分层与评价

基本达标：Q18、Q21、Q24和Q27能解释原因。基础弱者可使用计算表，不先要求抽象表达式。挑战者在Q23中构造一个只因定义域改变就从非函数变成函数的例子。课后完成Q29，下一课将把规则画成图像。

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第三课 图像与无穷

时间教学活动检查点
0–10分钟核对Q24–25的数表坐标写成输入在前
10–30分钟Q30–33 画直线抛物线与点列数列不随意连线，抛物线不画折线
30–45分钟Q34–37 面积和sinx/x对应横轴改变但同色点高度相同
45–55分钟两人交换趋近猜想数据与图像不充当证明
55–75分钟酒店视频或房号演示 Q38–39没有最后一间，不是最后一间很远
75–85分钟Q40 无穷减无穷讨论三种离开方式对应不同剩余
85–90分钟Q41选做与离堂反思保留疑问，进入极限定义

图像指导

先标出(0,1)和(0,0)，再描其他点。网格每格1单位；允许不够平滑，重点是坐标与形状。观察面积图时，先问左右横轴分别是什么，再让学生找n=6对应的x=π/3；不要只让学生说“趋近1”。

讨论边界

酒店的故事讨论无限集合；sinx/x讨论变量变化。二者都提醒检查有限经验，却不是同一种运算。Q40仅用反例动摇“无穷像普通数”的直觉，不在这里宣布或推导任何极限运算法则。学生说“既然都无穷，就一样多所以相减为零”，请其实际写出留下的房号。

评价：Q32、Q35、Q38、Q40各邀请不同学生解释一句。课后画aₙ=1/n的前五个点，预想它离0有多近，为下一课误差游戏作准备。

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第四课 师傅出题徒弟应答

时间教学活动检查点
0–10分钟从1/n前五点复习趋近有限图像不能包办无穷过程
10–25分钟教师当师傅 Q42严格小于与n>N分别检查
25–45分钟同桌轮换角色 Q43师傅给误差，徒弟说明起点
45–60分钟Q44–45 定义与量词任意ε后选N，保证所有后续项
60–75分钟Q46 证明1/n²趋于0平方和取倒数的方向
75–85分钟Q47函数极限，Q48选做δ控制输入，ε控制输出
85–90分钟自评与离堂小测允许用口头语言解释定义

板书与话术

板书：师傅 ε>0 → 徒弟 N → 所有n>N都满足|aₙ−L|<ε。先用ε=0.1，再用0.01。学生找到一个更大的N也接受，追问“你怎么保证它后面每一项”，不追求最小N。

对1/n²可从1/n²<ε倒推n>1/√ε，再选整数N≥1/√ε。强调N依赖ε，且每次只需要一个有限整数。教师不以“做完无穷多次题”描述证明，而以“对任意题都有应答规则”收束。

函数极限只用f(x)=2x、x趋于2体验：输出误差是输入误差的2倍，故δ=ε/2。带读定义中的0<|x−2|，不展开点上值与极限关系的专题，不引入四则运算。

离堂小测与补救

口答四项：π/3对应几度；多对一是不是函数；数列图为何不随意连线；1/n在误差0.01下怎样选N。每项能给出答案及一句理由记2分，仅答对记1分，共8分。6分及以上进入后续内容；不足6分按薄弱点回做对应题，不用整套重做。

课后基础：重做Q42、Q44、Q46。提高：Q48。评价重在区分任意与所有、能给统一保证，不以符号书写速度评价学生。

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学案参考答案 01 至 16

以下为学案对应题的参考答案。开放题接受满足条件的其他回答；优先追问理由。

01 12；9；3；0.01。注意先平方再取倒数。

02 均为60°；后两角各60°。

03 $\sin\theta=3/5$，$\cos\theta=4/5$，$\tan\theta=3/4$。对边、邻边随所选角改变。

04 $S=\pi r^2$。记忆给出结果；解释需说明面积为何恰为该值，不能把待证公式当作推导依据。

05 弧形边界并未因有限分割而变直；近似外形不能独自完成精确面积论证。允许学生画图说明。

06 $\pi,\pi/2,\pi/3,\pi/4,\pi/6$。可先用180°对应π按比例换算。

07 第一句错误，π是约3.14的数；应说π弧度=180°。第二句正确。第三句错误，需RAD模式，或改输入sin60°。

08 正弦：$0,1/2,\sqrt2/2,\sqrt3/2,1$；余弦：$1,\sqrt3/2,\sqrt2/2,1/2,0$。

09 $\sqrt3$；因为tan=sin/cos，而π/2处cos=0。

10 $2\pi/n$；分别为$2\pi/3,\pi/2,\pi/3$。不要把顶角与半顶角混淆。

11 一块为$\sqrt3/4$；合计$3\sqrt3/2\approx2.598076$。

12 $\pi/n$；$\sin(\pi/n)$；$\cos(\pi/n)$；$\sin(\pi/n)\cos(\pi/n)=\frac12\sin(2\pi/n)$。

13 $A_n=\frac n2\sin(2\pi/n)$，$n=3,4,5,\ldots$。

14 $3\sqrt3/4,2,3\sqrt3/2$。正方形面积=对角线平方/2=2，或边长√2。

15 几何对象要求整数边数且至少3条边。代数表达式的可计算范围不等于几何模型的定义域。

16 左边√3/2，右边1；正确倍角公式还含cos t。

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学案参考答案 17 至 32

以下为学案对应题的参考答案。开放题接受满足条件的其他回答；优先追问理由。

17 4是边数/下标，2是面积值；交换不保留原对应关系。

18 $\in,\notin,\notin,\in$。最后一项是面积2，属于实数集。

19 集合相同，不计重复和次序；数列不同，下标位置重要。

20 可画三条箭头；每个输入都有输出，且每个输入只有一个输出。

21 前者是，多对一允许；后者不是从词牌集到作品集的映射，一个输入对应多首独立作品。不要混同输出为“作品集合”的另一规则。

22 杜甫的输出子美不在指定输出集合中，规则未覆盖每个输入。

23 开放题。如本班学生→其学号；某人→他喜欢的所有单首歌曲，可能多值或无值。必须结合指定集合判断。

24 输出$-3,-1,1,3,5$；每次增加2。

25 $4,1,0,1,4$；不违反，要求每个输入输出唯一，不要求不同输入输出不同。

26 $7,9,-1$；是输入3后的函数值。

27 ①③是；②在0无定义；④一个输入两个输出，不是函数。限制定义域可以修复②。

28 3、5、7、9；同一表达式，数列只取正整数输入，f取全部实数。

29 例如定义域R，$h(x)=x-2$，0→−2、1→−1、2→0。答案不唯一。

30 分别经过(0,1)、(0,0)；一次函数为直线，二次函数需画平滑抛物线，五点只是定位。

31 (1,3)在；(2,4)不在，x=2对应5。

32 (1,3)、(2,5)、(3,7)、(4,9)；不能，数列只在指定整数下标有值。

教案与参考答案7 / 8
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学案参考答案 33 至 48

以下为学案对应题的参考答案。开放题接受满足条件的其他回答；优先追问理由。

33 不是；从x=−2到−1，输出从4降到1；从0往右才递增。

34 猜测π；不能，有限数据和舍入值不能证明所有后续项的性质。

35 $x_6=\pi/3$；$A_6/\pi=3\sqrt3/(2\pi)=f(\pi/3)$。

36 $x_n$从正侧趋近0；因为$A_n/\pi=f(x_n)$，只是横坐标改变。

37 RAD；0.01是一个固定值，无限趋近描述过程，不能只检查单个很小的输入。

38 2、3、101；新客人住1号。n+1规则是单射，无碰撞。

39 100号客人没有101号房。无限酒店对每个有限n都有n+1号房。

40 分别为0、1、无穷多；不能把删去无限子集简单当作普通数的减法。酒店讨论集合人数，不直接作为极限运算法则。

41 原客n→2n，新客k→2k−1；两组不重叠且每个客人有房。

42 n=10不满足严格小于；11满足。N=10可以，因为要求的是n>N，不是n≥N。

43 对1/n可取10、100、10000；对1/n²可取4、10、100。N不唯一，较大整数也对。

44 任意；存在；所有。顺序不可交换，不要求同一个N应付全部ε。

45 不够。须给出对任意n>N成立的统一理由或不等式，而非有限次核对。

46 $1/\sqrt\varepsilon$；ε。因n>N≥1/√ε且都为正，平方、取倒数后得到严格不等式。

47 4；0.05。函数极限条件写作0<|x−2|<0.05。

48 $\delta=\varepsilon/2$；$|2x-4|=2|x-2|<2\delta=\varepsilon$。

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